1999 AMC 12 Problema 24

Question

Se dan seis puntos sobre un círculo. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen pares de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?

Six points on a circle are given. Four of the chords joining pairs of the six points are selected at random. What is the probability that the four chords form a convex quadrilateral?

\dfrac{1}{15}

\dfrac{1}{91}

\dfrac{1}{273}

\dfrac{1}{455}

\dfrac{1}{1365}

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cualesquiera

4

de los

6

puntos determinan exactamente un cuadrilátero convexo.

Any

4

of the

6

points determine exactly one convex quadrilateral

Pista grande:

Cuenta todas las formas de elegir

4

cuerdas de las

\binom{6}{2}

cuerdas.

Count all ways to choose

4

chords from the

\binom{6}{2}

chords

Solución:

Hay

\binom{6}{2} = 15

cuerdas, así que

\binom{15}{4} = 1365

formas de seleccionar cuatro de ellas. Un cuadrilátero convexo surge exactamente cuando las cuatro cuerdas son los lados de un cuadrilátero sobre cuatro de los seis puntos, y cada elección de

4

puntos da exactamente uno de tales cuadriláteros.

Por lo tanto hay

\binom{6}{4} = 15

resultados favorables, y la probabilidad es

\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are

\binom{6}{2} = 15

chords, so

\binom{15}{4} = 1365

ways to select four of them. A convex quadrilateral arises exactly when the four chords are the sides of a quadrilateral on four of the six points, and each choice of

4

points gives exactly one such quadrilateral.

Hence there are

\binom{6}{4} = 15

favorable outcomes, and the probability is

\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.

Thus, the correct answer is B.