1999 AMC 12 Problema 17

Question

Sea

P(x)

un polinomio tal que cuando

P(x)

se divide entre

x - 19,

el residuo es

99,

y cuando

P(x)

se divide entre

x - 99,

el residuo es

19.

¿Cuál es el residuo cuando

P(x)

se divide entre

(x - 19)(x - 99)

?

Let

P(x)

be a polynomial such that when

P(x)

is divided by

x - 19,

the remainder is

99,

and when

P(x)

is divided by

x - 99,

the remainder is

19.

What is the remainder when

P(x)

is divided by

(x - 19)(x - 99)?

-x + 80

x + 80

-x + 118

x + 118

0

Respuesta: C

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Dividir entre un cuadrático deja un residuo de la forma

ax + b

.

Dividing by a quadratic leaves a remainder of the form

ax + b

Pista grande:

Usa

P(19) = 99

y

P(99) = 19

.

Use

P(19) = 99

and

P(99) = 19

Solución:

Por el Teorema del Residuo,

P(19) = 99

y

P(99) = 19.

Escribe

\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}

Entonces

19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.

Al restar se obtiene

80a = -80,

así que

a = -1

y

b = 118.

El residuo es

-x + 118.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the Remainder Theorem,

P(19) = 99

and

P(99) = 19.

Write

\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}

Then

19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.

Subtracting gives

80a = -80,

so

a = -1

and

b = 118.

The remainder is

-x + 118.

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años