1998 AMC 12 Problema 22

Question

¿Cuál es el valor de la expresión

\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}

What is the value of the expression

\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}

0.01

0.1

1

2

10

Usa la identidad de recíprocos

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

Use the reciprocal identity

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

Combina los logaritmos resultantes de

2,3,\ldots,100

Combine the resulting logarithms of

2,3,\ldots,100

Cada término es igual a

\log_{100!}b.

Por tanto, la suma es

\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es C.

Each term equals

\log_{100!}b.

Therefore the sum is

\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}

Thus C is correct.

El Problema 22 en otros años