1997 AMC 12 Problema 17

Question

Una recta

x=k

interseca las gráficas de

y=\log_5x

y

y=\log_5(x+4).

La distancia entre los puntos de intersección es

0.5.

Dado que

k=a+\sqrt b,

donde

a

y

b

son enteros, ¿cuánto vale

a+b

?

A line

x=k

intersects the graph of

y=\log_5x

and the graph of

y=\log_5(x+4).

The distance between the points of intersection is

0.5.

Given that

k=a+\sqrt b,

where

a

and

b

are integers, what is

a+b?

6

7

8

9

10

Respuesta: A

Conceptos:logarithms radical equations

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Como ambos puntos tienen coordenada

x

igual a

k

, su distancia es la diferencia entre sus logaritmos

Because both points have

x

-coordinate

k

, their distance is the difference of their logarithms

Pista grande:

Combina los logaritmos y eleva

5

a la potencia resultante

Combine the logarithms and exponentiate base

5

Solución:

La distancia vertical satisface

\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}

Por lo tanto,

\frac{k+4}{k}=\sqrt5,

así que

k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.

Entonces

a+b=1+5=6,

y A es la respuesta correcta.

The vertical distance is

\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}

Thus

\frac{k+4}{k}=\sqrt5,

so

k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.

Therefore

a+b=1+5=6,

and A is correct.