1995 AMC 12 Problema 17

Question

Dado el pentágono regular

ABCDE,

se puede trazar una circunferencia tangente a

\overline{DC}

en

D

y a

\overline{AB}

en

A.

El número de grados del arco menor

\overset{\frown}{AD}

es

Given regular pentagon

ABCDE,

a circle can be drawn that is tangent to

\overline{DC}

at

D

and to

\overline{AB}

at

A.

The number of degrees in minor arc

\overset{\frown}{AD}

is

72

108

120

135

144

Respuesta: E

Conceptos:regular polygons tangents central angles

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los radios que llegan a

A

y

D

son perpendiculares a los lados tangentes

The radii to

A

and

D

are perpendicular to the tangent sides

Pista grande:

Usa el ángulo exterior de

72^\circ

de un pentágono regular para comparar

\overline{AB}

con

\overline{DC}

Use the

72^\circ

exterior angle of a regular pentagon to compare

\overline{AB}

and

\overline{DC}

Solución:

Sea

O

el centro de la circunferencia. La dirección cambia

72^\circ

en cada vértice del pentágono, por lo que el ángulo agudo entre las rectas

AB

y

DC

es

36^\circ.

Los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a estas rectas; para la circunferencia mostrada, el ángulo central menor

\angle AOD

es el suplementario

180^\circ-36^\circ=144^\circ.

Por tanto, el arco menor

\overset{\frown}{AD}

mide

144^\circ,

y la respuesta correcta es E.

Let

O

be the circle’s center. The direction changes by

72^\circ

at each vertex of the pentagon, so the acute angle between lines

AB

and

DC

is

36^\circ.

The radii to their tangency points are perpendicular to these lines; for the circle shown, the minor central angle

\angle AOD

is the supplementary angle

180^\circ-36^\circ=144^\circ.

Therefore minor arc

\overset{\frown}{AD}

measures

144^\circ,

and the correct answer is E.