1990 AMC 12 Problema 9

Question

Cada arista de un cubo está pintada de rojo o de negro. Cada cara del cubo tiene al menos una arista negra. El menor número posible de aristas negras es

Each edge of a cube is colored either red or black. Every face of the cube has at least one black edge. The smallest possible number of black edges is

2

3

4

5

6

Respuesta: B

Conceptos:cube covering argument construction

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Cada arista pertenece exactamente a dos caras

Each edge belongs to exactly two faces

Pista grande:

Para construir el caso que alcanza la cota, elige tres aristas que no sean adyacentes entre sí

For the matching upper bound, choose three mutually nonadjacent edges

Solución:

Cada arista negra puede cubrir solo sus dos caras incidentes, así que cubrir las

6

caras requiere al menos

3

aristas negras. Elige aristas que pertenezcan a los pares de caras superior/frontal, inferior/izquierda y posterior/derecha. Estas tres aristas cubren las seis caras, por lo que el mínimo es

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each black edge can cover only its two incident faces, so covering all

6

faces requires at least

3

black edges. Choose edges incident to the face-pairs top/front, bottom/left, and back/right. These three edges cover all six faces, so the minimum is

3.

Thus the correct answer is B.