1990 AMC 12 Problema 22

Question

Si las seis soluciones de

x^6=-64

se escriben en la forma

a+bi,

donde

a

y

b

son reales, entonces el producto de las soluciones con

a\gt0

es

If the six solutions of

x^6=-64

are written in the form

a+bi,

where

a

and

b

are real, then the product of those solutions with

a\gt0

is

-2

0

2i

4

16

Escribe

-64

en forma polar y enumera sus seis raíces sextas

Write

-64

in polar form and list its six sixth roots

Las raíces con parte real positiva forman un par conjugado

The roots with positive real part form a conjugate pair

Las raíces tienen módulo

2

y argumentos

\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.

Las raíces con parte real positiva tienen argumentos

\frac{\pi}{6}

y

\frac{11\pi}{6}.

Son conjugadas de módulo

2,

así que su producto es

2^2=4.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The roots have modulus

2

and arguments

\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.

The roots with positive real part have arguments

\frac{\pi}{6}

and

\frac{11\pi}{6}.

They are conjugates of modulus

2,

so their product is

2^2=4.

Thus the correct answer is D.

El Problema 22 en otros años