1988 AMC 12 Problema 15

Question

Si

a

y

b

son enteros tales que

x^2-x-1

es un factor de

ax^3+bx^2+1,

entonces

b

es

If

a

and

b

are integers such that

x^2-x-1

is a factor of

ax^3+bx^2+1,

then

b

is

-2

-1

0

1

2

Respuesta: A

Conceptos:polynomial divisibility modular reduction coefficient comparison

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Reduce las potencias usando

x^2\equiv x+1

Reduce powers using

x^2\equiv x+1

Pista grande:

Un polinomio de grado menor que

2

divisible por el cuadrático debe ser cero

A polynomial of degree below

2

divisible by the quadratic must be zero

Solución:

Módulo

x^2-x-1,

tenemos

x^2\equiv x+1

y

x^3\equiv2x+1.

Así, el polinomio es congruente con

(2a+b)x+(a+b+1).

Ambos coeficientes deben anularse, de modo que

2a+b=0

y

a+b=-1.

Por tanto,

a=1

y

b=-2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Modulo

x^2-x-1,

we have

x^2\equiv x+1

and

x^3\equiv2x+1.

Thus the polynomial is congruent to

(2a+b)x+(a+b+1).

Both coefficients must vanish, so

2a+b=0

and

a+b=-1.

Hence

a=1

and

b=-2.

Thus the correct answer is A.