1986 AMC 12 Problema 19

Question

Un parque tiene la forma de un hexágono regular de

2

km de lado. Alice parte de un vértice y camina

5

km por el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros de su punto de partida se encuentra?

A park is in the shape of a regular hexagon

2

km on a side. Starting at a corner, Alice walks along the perimeter of the park for a distance of

5

km. How many kilometers is she from her starting point?

\sqrt{13}

\sqrt{14}

\sqrt{15}

\sqrt{16}

\sqrt{17}

El recorrido consta de dos lados completos y la mitad del lado siguiente

The walk consists of two complete sides and half of the next side

Descompón los tres segmentos dirigidos en componentes horizontales y verticales

Resolve the three directed segments into horizontal and vertical components

Elijamos el primer lado en dirección horizontal. Las tres partes dirigidas del recorrido tienen vectores

\begin{gathered} (2,0),\qquad (1,\sqrt3),\\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{gathered}

Su suma es

(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt3}{2}).

El cuadrado de su longitud es

\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2=13.

Por tanto, la distancia es

\sqrt{13}

km.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Choose the first side in the horizontal direction. The three directed portions of the walk have vectors

\begin{gathered} (2,0),\qquad (1,\sqrt3),\\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{gathered}

Their sum is

(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt3}{2}).

Its squared length is

\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2=13.

The distance is therefore

\sqrt{13}

km.

Thus the correct answer is A.

El Problema 19 en otros años