2025 AIME II Problema 1

Question

Seis puntos

A,

B,

C,

D,

E,

y

F

están sobre una recta en ese orden. Supongamos que

G

es un punto que no está sobre la recta y que

AC = 26,

BD = 22,

CE = 31,

DF = 33,

AF = 73,

CG = 40,

y

DG = 30.

Halla el área de

\triangle BGE.

Six points

A,

B,

C,

D,

E,

and

F

lie in a straight line in that order. Suppose that

G

is a point not on the line and that

AC = 26,

BD = 22,

CE = 31,

DF = 33,

AF = 73,

CG = 40,

and

DG = 30.

Find the area of

\triangle BGE.

Respuesta

Respuesta: 468

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia área del triángulo

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Coloca la recta sobre una recta numérica con

A = 0;

las distancias

AC,

BD,

CE,

DF,

AF

determinan cada punto

Put the line on a number line with

A = 0;

the distances

AC,

BD,

CE,

DF,

AF

determine every point

Pista grande:

Con

CD = 14,

usa

CG = 40

y

DG = 30

para hallar a qué altura está

G

sobre la recta;

BE

es la base

With

CD = 14,

use

CG = 40

and

DG = 30

to find how high

G

sits above the line;

BE

is the base

Solución:

Coloca la recta sobre una recta numérica con

A = 0.

Entonces

C = 26,

E = 26 + 31 = 57,

F = 73,

D = 73 - 33 = 40,

y

B = 40 - 22 = 18.

Escribe

G = (x, y).

De

CG = 40

y

DG = 30,

(x - 26)^2 + y^2 = 1600,

(x - 40)^2 + y^2 = 900.

Al restar se obtiene

14(2x - 66) = 700,

así que

x = 58,

y entonces

y^2 = 1600 - 32^2 = 576,

por lo que

G

está a una altura de

24

sobre la recta.

Como

B

y

E

están ambos sobre la recta,

BE = 57 - 18 = 39

es una base con altura

24,

así que el área es

\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.

Place the line on a number line with

A = 0.

Then

C = 26,

E = 26 + 31 = 57,

F = 73,

D = 73 - 33 = 40,

and

B = 40 - 22 = 18.

Write

G = (x, y).

From

CG = 40

and

DG = 30,

(x - 26)^2 + y^2 = 1600,

(x - 40)^2 + y^2 = 900.

Subtracting gives

14(2x - 66) = 700,

so

x = 58,

and then

y^2 = 1600 - 32^2 = 576,

so

G

is at height

24

above the line.

Since

B

and

E

both lie on the line,

BE = 57 - 18 = 39

is a base with height

24,

so the area is

\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.