2023 AIME I Problema 2

Question

Los números reales positivos

b \ne 1

y

n

satisfacen las ecuaciones

\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}

y

b \cdot \log_b n = \log_b (bn).

El valor de

n

es

\frac{j}{k},

donde

j

y

k

son enteros positivos primos entre sí. Halla

j + k.

Positive real numbers

b \ne 1

and

n

satisfy the equations

\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}

and

b \cdot \log_b n = \log_b (bn).

The value of

n

is

\frac{j}{k},

where

j

and

k

are relatively prime positive integers. Find

j + k.

Respuesta

Respuesta: 881

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Toma

x = \log_b n

y reescribe ambas ecuaciones en términos de

x

y

b.

Set

x = \log_b n

and rewrite both equations in terms of

x

and

b.

Pista grande:

La primera ecuación obliga a

\sqrt{x} = \frac{x}{2};

descarta la raíz que incumple la segunda ecuación, que dice

bx = 1 + x.

The first equation forces

\sqrt{x} = \frac{x}{2};

discard the root that breaks the second equation, which reads

bx = 1 + x.

Solución:

Sea

x = \log_b n.

La primera ecuación dice

\sqrt{x} = \log_b n^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2},

así que

x = \frac{x^2}{4},

lo que da

x = 0

o

x = 4.

Si

x = 0

entonces

n = 1,

y la segunda ecuación diría

0 = \log_b b = 1,

imposible; por lo tanto

x = 4.

La segunda ecuación dice

bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,

así que

4b = 5

y

b = \frac{5}{4}.

Entonces

n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},

que ya está en su forma más simple, así que

j + k = 625 + 256 = 881.

Let

x = \log_b n.

The first equation says

\sqrt{x} = \log_b n^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2},

so

x = \frac{x^2}{4},

giving

x = 0

or

x = 4.

If

x = 0

then

n = 1,

and the second equation would read

0 = \log_b b = 1,

impossible; so

x = 4.

The second equation says

bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,

so

4b = 5

and

b = \frac{5}{4}.

Then

n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},

which is in lowest terms, so

j + k = 625 + 256 = 881.