2010 AIME I Problema 3

Question

Suponga que

y = \frac{3}{4}x

y

x^y = y^x.

La cantidad

x + y

puede expresarse como un número racional

\frac{r}{s},

donde

r

y

s

son enteros positivos primos entre sí. Halle

r + s.

Suppose that

y = \frac{3}{4}x

and

x^y = y^x.

The quantity

x + y

can be expressed as a rational number

\frac{r}{s},

where

r

and

s

are relatively prime positive integers. Find

r + s.

Respuesta

Respuesta: 529

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Sustituya

y = \frac{3}{4}x

en

x^y = y^x

y tome la raíz

x

-ésima de ambos lados

Substitute

y = \frac{3}{4}x

into

x^y = y^x

and take

x

th roots of both sides

Pista grande:

La ecuación se convierte en

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

así que

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

lo que da

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4

The equation becomes

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

so

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

which gives

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4

Solución:

Sustituir

y = \frac{3}{4}x

en

x^y = y^x

da

x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.

Tomando raíces

x

-ésimas (las cantidades aquí son positivas),

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

así que al dividir entre

x

se obtiene

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

es decir,

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.

Entonces

y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},

y

x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.

Como

\gcd(448, 81) = 1,

la respuesta es

448 + 81 = 529.

Substituting

y = \frac{3}{4}x

into

x^y = y^x

gives

x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.

Taking

x

th roots (the quantities here are positive),

x^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}x,

so dividing by

x

yields

x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4},

that is,

x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.

Then

y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},

and

x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.

Since

\gcd(448, 81) = 1,

the answer is

448 + 81 = 529.