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2001 AIME II Problema 3

Intenta el Problema 3 del 2001 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

3.

Los cuatro primeros términos son x1=211,x_1 = 211, x2=375,x_2 = 375, x3=420,x_3 = 420, y x4=523.x_4 = 523. Para n≥5,n \ge 5, xn=xn−1−xn−2+xn−3−xn−4. \begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4}. \end{aligned} Halla el valor de x531+x753+x975.x_{531} + x_{753} + x_{975}.
The first four terms are x1=211,x_1 = 211, x2=375,x_2 = 375, x3=420,x_3 = 420, and x4=523.x_4 = 523. For n≥5,n \ge 5, xn=xn−1−xn−2+xn−3−xn−4. \begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4}. \end{aligned} Find the value of x531+x753+x975.x_{531} + x_{753} + x_{975}.
Respuesta: 898
Conceptos:recursiónreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
Sustituye la recurrencia de xn−1x_{n-1} en la fórmula de xnx_n para obtener xn=−xn−5x_n = -x_{n-5}.
Substitute the recurrence for xn−1x_{n-1} into the formula for xnx_n to get xn=−xn−5x_n = -x_{n-5}
Pista grande:
La sucesión se repite con periodo 10,10, así que reduce cada subíndice módulo 1010 y calcula x5x_5 a partir de los valores dados.
The sequence repeats with period 10,10, so reduce each subscript mod 1010 and compute x5x_5 from the given values
Solución:
Para n≥6,n \ge 6, sustituye la recurrencia de xn−1:x_{n-1}: xn=(xn−2−xn−3+xn−4−xn−5)−xn−2+xn−3−xn−4=−xn−5. \begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5}. \end{aligned} Por tanto xn+10=−xn+5=xn,x_{n+10} = -x_{n+5} = x_n, así que la sucesión tiene periodo 10.10.
Como 531,531, 753,753, y 975975 dejan restos 1,1, 3,3, y 55 al dividir entre 10,10, obtenemos x531=x1=211,x_{531} = x_1 = 211, x753=x3=420,x_{753} = x_3 = 420, y x975=x5x_{975} = x_5 =x4−x3+x2−x1= x_4 - x_3 + x_2 - x_1 =523−420+375−211= 523 - 420 + 375 - 211 =267.= 267.
La suma es 211+420+267=898.211 + 420 + 267 = 898.
For n≥6,n \ge 6, substitute the recurrence for xn−1:x_{n-1}: xn=(xn−2−xn−3+xn−4−xn−5)−xn−2+xn−3−xn−4=−xn−5. \begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5}. \end{aligned} Hence xn+10=−xn+5=xn,x_{n+10} = -x_{n+5} = x_n, so the sequence has period 10.10.
Since 531,531, 753,753, and 975975 leave remainders 1,1, 3,3, and 55 upon division by 10,10, we get x531=x1=211,x_{531} = x_1 = 211, x753=x3=420,x_{753} = x_3 = 420, and x975=x5x_{975} = x_5 =x4−x3+x2−x1= x_4 - x_3 + x_2 - x_1 =523−420+375−211= 523 - 420 + 375 - 211 =267.= 267.
The sum is 211+420+267=898.211 + 420 + 267 = 898.

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