Question

Considera el paralelogramo con vértices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ y $(28, 84).$ Una recta que pasa por el origen divide esta figura en dos polígonos congruentes. La pendiente de la recta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider the parallelogram with vertices $(10, 45),$ $(10, 114),$ $(28, 153),$ and $(28, 84).$ A line through the origin cuts this figure into two congruent polygons. The slope of the line is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:paralelogramo punto medio pendiente simetría

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Un paralelogramo es simétrico bajo la rotación de $180^\circ$ en torno a su centro, de modo que cualquier recta que pase por el centro lo divide en dos piezas que se intercambian mediante esa rotación, y por tanto son congruentes. El centro es el punto medio de una diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

La recta que pasa por el origen y $(19, 99)$ tiene pendiente $\frac{99}{19},$ y $\gcd(99, 19) = 1,$ así que $m + n = 99 + 19 = 118.$

Congruent pieces have equal area. For any fixed direction, there is only one line in that direction that bisects the area of a convex figure; because a parallelogram is centrally symmetric, that line passes through its center. Thus the required line through the origin must also pass through the center. Conversely, the $180^\circ$ rotation about the center swaps the two pieces cut by such a line, so they are congruent. The center is the midpoint of a diagonal: $\begin{aligned} &\left(\frac{10 + 28}{2}, \frac{45 + 153}{2}\right) \\ &= (19, 99). \end{aligned}$

The line through the origin and $(19, 99)$ has slope $\frac{99}{19},$ and $\gcd(99, 19) = 1,$ so $m + n = 99 + 19 = 118.$

1999 AIME Problema 2

Respuesta: 118

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

El Problema 2 en otros años