2024 AMC 12B 第 24 题

Question

有多少个正整数有序三元组

(a, b, c)

，满足

a \le b \le c \le 9

，并且存在一个非退化三角形

\triangle ABC

，其内切圆半径为整数，且

a

、

b

、

c

分别是从

A

到

\overline{BC}

、从

B

到

\overline{AC}

、从

C

到

\overline{AB}

的高？（回忆：三角形的内切圆半径，是能内接于该三角形的最大圆的半径。）

What is the number of ordered triples

(a, b, c)

of positive integers, with

a \le b \le c \le 9,

such that there exists a (non-degenerate) triangle

\triangle ABC

with an integer inradius for which

a,

b,

and

c

are the lengths of the altitudes from

A

to

\overline{BC},

B

to

\overline{AC},

and

C

to

\overline{AB},

respectively? (Recall that the inradius of a triangle is the radius of the largest possible circle that can be inscribed in the triangle.)

2

3

4

5

6

答案：B

知识点：高线内切圆、内心与内切圆半径三角不等式

难度评级：2410

小提示：

因为每条边等于

\dfrac{2[\triangle]}{\text{高}}

，所以内切圆半径满足

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

。

Since each side equals

\dfrac{2[\triangle]}{\text{altitude}},

the inradius satisfies

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

大提示：

边长与

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c

成比例，所以非退化要求

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c

；寻找

\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c

为单位分数的三元组。

The sides are proportional to

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c,

so non-degeneracy needs

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c;

seek triples with

\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c

a unit fraction

解答：

将每条边写成

\dfrac{2[\triangle]}{h}

，则半周长为

[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr)

。由

r = \dfrac{[\triangle]}{s}

，可得

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

。我们需要该和等于正整数

r

的倒数

\dfrac1r

。边长与

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c

成比例，所以非退化条件要求

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c

。

因为

a\le b\le c\le9

，倒数之和至少为

\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3}

，所以整数

r

只能是

1,2,3

之一。又

\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a}

，所以

r\lt a\le3r

。对这少数几组

r,a

，把

b=a,a+1,\ldots,9

代入

c=\frac{abr}{ab-ar-br}\text{。}

只保留满足

b\le c\le9

的整数

c

，就得到完整的列表

\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9) \end{array}\text{。}

其中三元组

(2,3,6),(2,4,4)

和

(4,8,8)

满足

\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c

，因而给出退化三角形。剩下的三元组是

(3,3,3),(6,6,6)

和

(9,9,9)

，所以答案是

3

。

所以正确答案是 B。

Writing each side as

\dfrac{2[\triangle]}{h},

the semiperimeter is

[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),

so the inradius

r = \dfrac{[\triangle]}{s}

satisfies

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.

We need this to be

\dfrac1r

for a positive integer

r,

with the sides (proportional to

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c

) forming a non-degenerate triangle, requiring

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.

Because

a\le b\le c\le9,

the reciprocal sum is at least

\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3},

so the integer

r

is one of

1,2,3.

Also

\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a},

so

r\lt a\le3r.

For each of these few values of

r,a,

substitute

b=a,a+1,\ldots,9

into

c=\frac{abr}{ab-ar-br}.

Keeping only integral

c

with

b\le c\le9

gives the complete list

\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}

The triples

(2,3,6),(2,4,4),

and

(4,8,8)

have

\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c

and therefore give degenerate triangles. The remaining triples are

(3,3,3),(6,6,6),

and

(9,9,9),

so the answer is

3.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 24 题

答案：B

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题