2023 AMC 12A 第 16 题

Question

考虑满足

|1+z+z^2|=4

的复数

z

的集合。

z

的虚部的最大值可写成

\dfrac{\sqrt{m}}{n}

，其中

m

和

n

是互质正整数。求

m+n

？

Consider the set of complex numbers

z

satisfying

|1+z+z^2|=4.

The maximum value of the imaginary part of

z

can be written in the form

\dfrac{\sqrt{m}}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

20

21

22

23

24

答案：B

知识点：复数最优化

难度评级：1840

小提示：

令

z=x+yi

，并展开

|1+z+z^2|^2=16

。

Write

z=x+yi

and expand

|1+z+z^2|^2=16

大提示：

使

y

最大时会出现对称情形

x=-\tfrac12

；再用所得方程解

y

。

Maximizing

y

forces the symmetric case

x=-\tfrac12;

solve the resulting equation for

y

解答：

令

z=x+yi

。则

1+z+z^2

=(1+x+x^2-y^2)

+y(1+2x)i

，约束条件为

\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16 \end{gathered}\text{。}

在这条闭合有界曲线上

y

取最大值的点处，隐函数求导（或拉格朗日乘数法）给出

(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0

，其中

P=1+x+x^2-y^2

。但

P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0

，所以

x=-\tfrac12

。

此时

1+2x=0

，约束化为

\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16

。取

\tfrac34-y^2=-4

，得

y^2=\tfrac{19}{4}

，所以最大值为

y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}

。

这里

m=19

、

n=2

，所以

m+n=21

。

所以正确答案是 B。

Write

z=x+yi.

Then

1+z+z^2

=(1+x+x^2-y^2)

+y(1+2x)i,

and the constraint is

\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}

At a point where

y

is maximal on this closed, bounded curve, implicit differentiation (or Lagrange multipliers) gives

(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,

where

P=1+x+x^2-y^2.

But

P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0,

so

x=-\tfrac12.

Then

1+2x=0,

so the constraint reduces to

\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.

Taking

\tfrac34-y^2=-4

gives

y^2=\tfrac{19}{4},

so the maximum is

y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.

Here

m=19

and

n=2,

so

m+n=21.

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A 第 16 题

答案：B

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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