Question

考虑满足 $|1+z+z^2|=4$ 的复数 $z$ 的集合。 $z$ 的虚部的最大值可写成 $\dfrac{\sqrt{m}}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ ？

Consider the set of complex numbers $z$ satisfying $|1+z+z^2|=4.$ The maximum value of the imaginary part of $z$ can be written in the form $\dfrac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：B

知识点：复数最优化

难度评级：1840

解答：

令 $z=x+yi$ 。则 $1+z+z^2$ $=(1+x+x^2-y^2)$ $+y(1+2x)i$ ，约束条件为 $\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}$

令 $y$ 对 $P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0$ 的导数为零，可因式分解为 $(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0$ ，其中 $P=1+x+x^2-y^2$ 。因子对实数不可能成立，所以 $x=-\tfrac12$ 。

此时 $1+2x=0$ ，约束化为 $\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16$ 。取 $\tfrac34-y^2=-4$ ，得 $y^2=\tfrac{19}{4}$ ，所以最大值为 $y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}$ 。

这里 $m=19$ 、 $n=2$ ，所以 $m+n=21$ 。

所以正确答案是 B。

Write $z=x+yi.$ Then $1+z+z^2$ $=(1+x+x^2-y^2)$ $+y(1+2x)i,$ and the constraint is $\begin{gathered} (1+x+x^2-y^2)^2\\ {}+y^2(1+2x)^2=16. \end{gathered}$

At a point where $y$ is maximal on this closed, bounded curve, implicit differentiation (or Lagrange multipliers) gives $(1+2x)\bigl(P+2y^2\bigr)=0,$ where $P=1+x+x^2-y^2.$ But $P+2y^2=x^2+x+1+y^2\gt 0,$ so $x=-\tfrac12.$

Then $1+2x=0,$ so the constraint reduces to $\left(\tfrac34-y^2\right)^2=16.$ Taking $\tfrac34-y^2=-4$ gives $y^2=\tfrac{19}{4},$ so the maximum is $y=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.$

Here $m=19$ and $n=2,$ so $m+n=21.$

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A 第 16 题

答案：B

难度评级：1840

解答：

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