Question

令 $m \ge 5$ 为奇整数，并令 $D(m)$ 表示满足下列条件的四元组 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 的个数：四个分量是互不相同的整数，且对所有 $i$ 都有 $1 \le a_i \le m$ ，并且 $m$ 整除 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ 。存在一个多项式使得对所有奇整数 $m \ge 5$ 都有 $D(m) = q(m)$ 。 $c_1$ 是多少？ $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

答案：E

知识点：模运算单位根多项式

难度评级：2650

解答：

计算互不相同且和 $1,2,\ldots,m$ 的有序剩余类四元组（可用单位根筛法，并利用 $m$ 为奇数）得到直接计算也验证 $m^3$ 、、，与这个三次式一致。

展开得 $6$ ，所以 $m^2$ 。 $-6m^2$ 。 $3$ $+3m$ 。 $4$ $2$ $+8m$ 。 $-6$ $m$ $2$ $4$ $m$ 。 $c_1=11$ 。 $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 25 题

答案：E

难度评级：2650

解答：

其他年份的第 25 题