2021 AMC 12A Fall 第 24 题

Question

凸四边形

ABCD

满足

AB = 18

、

\angle A = 60^\circ

，且

\overline{AB} \parallel \overline{CD}

。四条边的长度按某种顺序构成一个等差数列，并且边

AB

是最大长度的边。另一条边的长度为

a

。所有可能的

a

值之和是多少？

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 18,

\angle A = 60^\circ,

and

\overline{AB} \parallel \overline{CD}.

In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side

AB

is a side of maximum length. The length of another side is

a.

What is the sum of all possible values of

a?

24

42

60

66

84

答案：E

知识点：梯形等差数列分类讨论

难度评级：2520

小提示：

因为

AB = 18

是最大值，四边长为

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d

；令

A = (0,0)

，

B = (18,0)

，并把

D

放在

60^\circ

方向上

With

AB = 18

the maximum, the four sides are

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;

place

A = (0,0),

B = (18,0),

and

D

at angle

60^\circ

大提示：

对三条较短边分配给

BC, CD, DA

的每种方式，要求

\overline{CD}

水平并解出

d

；还要包括公差

d = 0

的情形

For each assignment of the three smaller lengths to

BC, CD, DA,

impose that

\overline{CD}

is horizontal and solve for

d;

also include common difference

d = 0

解答：

因为

AB = 18

是最大边，四条边为

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d

。取

A = (0,0)

，

B = (18,0)

，

D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)

，其中

m=DA

，令

n=CD

且

\ell=BC

。则

C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2})

，所以

\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n) \end{aligned}\text{。}

令

u_j=18-jd

，其中

j=1,2,3

。将

(u_1,u_2,u_3)

的排列

123,132,213,231,312,321

依次代入

(m,n,\ell)

，得到非零候选值

d=18,2,9,5,6,6

，因为

u_3

为正要求

d<6

，所以只留下

d=2

和

d=5

。情形

d=0

也给出一个有效的菱形。

因此边长集合为

\{18,16,14,12\}

，

\{18,13,8,3\}

，和

\{18,18,18,18\}

。

非

AB

边长的可能值为

\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\}

，其和为

84

。

因此，正确答案是 E。

Since

AB = 18

is the largest, the four sides are

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.

Placing

A = (0,0),

B = (18,0),

and

D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)

with

m=DA,

let

n=CD

and

\ell=BC.

Then

C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),

so

\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}

Write

u_j=18-jd

for

j=1,2,3.

Substituting the permutations

123,132,213,231,312,321

of

(u_1,u_2,u_3)

for

(m,n,\ell)

gives the nonzero candidates

d=18,2,9,5,6,6,

respectively. Positivity of

u_3

requires

d<6,

leaving only

d=2

and

d=5.

The case

d=0

also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are

\{18,16,14,12\},

\{18,13,8,3\},

and

\{18,18,18,18\}.

The possible values of a non-

AB

side length are

\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},

whose sum is

84.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 24 题

答案：E

难度评级：2520

小提示：

大提示：

解答：

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