2021 AMC 12B Spring 第 24 题

Question

设

ABCD

是面积为

15

的平行四边形。点

P

和

Q

分别是

A

和

C

在直线

BD

上的投影；点

R

和

S

分别是

B

和

D

在直线

AC

上的投影。见图，图中也显示了这些点的相对位置。

假设

PQ=6

，

RS=8

，并令

d

表示

\overline{BD}

的长度，即

ABCD

的较长对角线。则

d^2

可写成

m+n\sqrt p

的形式，其中

m

，

n

，和

p

是正整数，且

p

不被任何质数的平方整除。

m+n+p

是多少？

Let

ABCD

be a parallelogram with area

15.

Points

P

and

Q

are the projections of

A

and

C,

respectively, onto the line

BD;

and points

R

and

S

are the projections of

B

and

D,

respectively, onto the line

AC.

See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose

PQ=6

and

RS=8,

and let

d

denote the length of

\overline{BD},

the longer diagonal of

ABCD.

Then

d^2

can be written in the form

m+n\sqrt p,

where

m,

n,

and

p

are positive integers and

p

is not divisible by the square of any prime. What is

m+n+p?

81

89

97

105

113

答案：A

知识点：平行四边形三角学面积

难度评级：2480

小提示：

设

\theta

为两条对角线的夹角；则

PQ=AC\cos\theta

，

RS=BD\cos\theta

。

Let

\theta

be the angle between the diagonals; then

PQ=AC\cos\theta

and

RS=BD\cos\theta

大提示：

面积为

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15

，结合

AC\cos\theta=6

，

BD\cos\theta=8

。

The area is

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

which combines with

AC\cos\theta=6,

BD\cos\theta=8

解答：

设两条对角线交于

O

，夹角为

\theta

。从

A

和

C

到

BD

的垂足关于

O

对称，所以

PQ=AC\cos\theta=6

；同理

RS=BD\cos\theta=8

。

平行四边形面积为

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15

，所以

AC\cdot BD\sin\theta=30

。于是

\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30

，得

\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58

。

令

s=\sin\theta

，则

8s=5(1-s^2)

，解得

s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5}

，所以

\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}

。

因此

d^2=BD^2

=\dfrac{64}{\cos^2\theta}

=8(\sqrt{41}+4)

=32+8\sqrt{41}

，所以

m+n+p=32+8+41=81

。

所以正确答案是 A。

Let the diagonals meet at

O

at angle

\theta.

The feet of the perpendiculars from

A

and

C

to

BD

are symmetric about

O,

so

PQ=AC\cos\theta=6;

likewise

RS=BD\cos\theta=8.

The parallelogram’s area is

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

so

AC\cdot BD\sin\theta=30.

Then

\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,

giving

\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.

Writing

s=\sin\theta,

8s=5(1-s^2)

gives

s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},

so

\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.

Then

d^2=BD^2

=\dfrac{64}{\cos^2\theta}

=8(\sqrt{41}+4)

=32+8\sqrt{41},

so

m+n+p=32+8+41=81.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 24 题

答案：A

难度评级：2480

小提示：

大提示：

解答：

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