Question

设 $ABCD$ 是面积为 $15$ 的平行四边形。点 $P$ 和 $Q$ 分别是 $A$ 和 $C$ 在直线 $BD$ 上的投影；点 $R$ 和 $S$ 分别是 $B$ 和 $D$ 在直线 $AC$ 上的投影。见图，图中也显示了这些点的相对位置。

假设 $PQ=6$ ， $RS=8$ ，并令 $d$ 表示 $\overline{BD}$ 的长度，即 $ABCD$ 的较长对角线。则 $d^2$ 可写成 $m+n\sqrt p$ 的形式，其中 $m, n$ ，和 $p$ 是正整数，且 $p$ 不被任何质数的平方整除。 $m+n+p$ 是多少？

Let $ABCD$ be a parallelogram with area $15.$ Points $P$ and $Q$ are the projections of $A$ and $C,$ respectively, onto the line $BD;$ and points $R$ and $S$ are the projections of $B$ and $D,$ respectively, onto the line $AC.$ See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose $PQ=6$ and $RS=8,$ and let $d$ denote the length of $\overline{BD},$ the longer diagonal of $ABCD.$ Then $d^2$ can be written in the form $m+n\sqrt p,$ where $m, n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n+p?$

$81$

$89$

$97$

$105$

$113$

答案：A

知识点：平行四边形三角学面积

难度评级：2480

解答：

设两条对角线交于 $O$ ，夹角为 $\theta$ 。从 $A$ 和 $C$ 到 $BD$ 的垂足关于 $O$ 对称，所以 $PQ=AC\cos\theta=6$ ；同理 $RS=BD\cos\theta=8$ 。

平行四边形面积为 $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15$ ，所以 $AC\cdot BD\sin\theta=30$ 。于是 $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30$ ，得 $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58$ 。

令 $s=\sin\theta$ 则 $8s=5(1-s^2)$ ，解得 $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5}$ ，所以 $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}$ 。

因此 $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41}$ ，所以 $m+n+p=32+8+41=81$ 。

所以正确答案是 A。

Let the diagonals meet at $O$ at angle $\theta.$ The feet of the perpendiculars from $A$ and $C$ to $BD$ are symmetric about $O,$ so $PQ=AC\cos\theta=6;$ likewise $RS=BD\cos\theta=8.$

The parallelogram's area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ so $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Then $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ giving $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Writing $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ gives $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ so $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Then $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ so $m+n+p=32+8+41=81.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 24 题

答案：A

难度评级：2480

解答：

其他年份的第 24 题