2020 AMC 12A 第 16 题

Question

在坐标平面中，从顶点为

(0, 0)

、

(2020, 0)

、

(2020, 2020)

和

(0, 2020)

的正方形内随机选取一点。该点在某个格点的

d

个单位以内的概率为

\tfrac12

。（若点

(x, y)

的

x

和

y

都是整数，则称它为格点。）

d

四舍五入到十分位是多少？

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are

(0, 0),

(2020, 0),

(2020, 2020),

and

(0, 2020).

The probability that the point is within

d

units of a lattice point is

\tfrac12.

(A point

(x, y)

is a lattice point if

x

and

y

are both integers.) What is

d

to the nearest tenth?

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

答案：B

知识点：几何概率圆面积格点

难度评级：1730

小提示：

由周期性，只需关注一个四个顶点都是格点的单位正方形

By periodicity, focus on a single unit square with a lattice point at each corner

大提示：

一个单位格子中的四个四分之一圆盘组成一个半径为

d

的完整圆盘；令其面积为

\tfrac12

。

The four quarter-disks in one unit cell form one full disk of radius

d;

set its area to

\tfrac12

解答：

由周期性，只需考虑一个四个角都是格点的单位格子。距离某个角不超过

d

的区域由四个半径为

d

的四分之一圆盘组成，合成一个面积为

\pi d^2

的完整圆盘。所得的值将小于

\tfrac12

，所以这些四分之一圆盘互不重叠。

令

\pi d^2 = \tfrac12

得到

d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399

。

四舍五入到十分位，

d = 0.4

。

因此，正确答案是 B。

By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within

d

of a corner consists of four quarter-disks of radius

d,

forming one full disk of area

\pi d^2.

The resulting value will be less than

\tfrac12,

so these quarter-disks do not overlap.

Setting

\pi d^2 = \tfrac12

gives

d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.

To the nearest tenth,

d = 0.4.

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 16 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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