Question

序列 $(a_n)$ 递归定义为 $a_0=1$ 、 $a_1=\sqrt[19]{2}$ ，且对 $n\ge2$ ，有 $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ 。使乘积 $a_1a_2\cdots a_k$ 为整数的最小正整数 $k$ 是多少？

The sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_0=1,$ $a_1=\sqrt[19]{2},$ and $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ for $n\ge2.$ What is the smallest positive integer $k$ such that the product $a_1a_2\cdots a_k$ is an integer?

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

答案：A

知识点：递推模运算乘法阶

难度评级：2650

解答：

写成 $a_n=2^{b_n/19}.$ 递推变为 $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ 解为 $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ 乘积 $a_1\cdots a_k$ 为整数，当且仅当 $19\mid b_1+\cdots+b_k.$ 对 $b_n$ 的公式求和可得：当 $k$ 为奇数时， $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}$ ；当 $k$ 为偶数时， $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}$ 。

$2$ 模 $19$ 的阶为 $18$ ，因为 $2^9\equiv-1\pmod{19}$ 且 $2^6\not\equiv1\pmod{19}.$ 对奇数 $k,$ 整除条件要求 $18\mid k+1,$ 最早在 $k=17.$ 时发生。对偶数 $k,$ 条件要求 $18\mid k,$ 最早在 $k=18.$ 时发生。因此最小正整数 $k$ 是 $17.$

因此，正确答案是 A。

Write $a_n=2^{b_n/19}.$ The recursion becomes $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ solved by $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ The product $a_1\cdots a_k$ is an integer exactly when $19\mid b_1+\cdots+b_k.$ Summing the formula for $b_n$ gives $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}$ when $k$ is odd, and $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}$ when $k$ is even.

The order of $2$ modulo $19$ is $18$ because $2^9\equiv-1\pmod{19}$ and $2^6\not\equiv1\pmod{19}.$ For odd $k,$ divisibility therefore requires $18\mid k+1,$ first occurring at $k=17.$ For even $k,$ it requires $18\mid k,$ first occurring at $k=18.$ Hence the smallest positive $k$ is $17.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B 第 25 题

答案：A

难度评级：2650

解答：

其他年份的第 25 题