2016 AMC 12A 第 16 题

Question

将

y=\log_3 x

、

y=\log_x 3

、

y=\log_{\frac{1}{3}} x

以及

y=\log_x\dfrac{1}{3}

的图像画在同一坐标系中。平面上有多少个

x

坐标为正的点位于两条或更多条图像上？

The graphs of

y=\log_3 x,

y=\log_x 3,

y=\log_{\frac{1}{3}} x,

and

y=\log_x\dfrac{1}{3}

are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive

x

-coordinates lie on two or more of the graphs?

2

3

4

5

6

答案：D

知识点：对数换元法

难度评级：1860

小提示：

令

u=\log_3 x

，把四个函数值改写为

u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u

。

Let

u=\log_3 x

and rewrite all four as

u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u

大提示：

找出哪些

x

会让这四个表达式中任意两个相等。

Find every

x

where two of these four expressions are equal

解答：

令

u=\log_3 x

，则

\log_x 3=\dfrac1u

，

\log_{\frac{1}{3}}x=-u

，且

\log_x\dfrac13=-\dfrac1u

。两条图像相交时，

u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u

中有两个相等，并且对应的

x\gt 0

有效。

令

u=\dfrac1u

得

u=\pm1

，所以

x=3

或

x=\dfrac13

；令

-u=-\dfrac1u

得到同样的值。令

u=-u

得

u=0

，即

x=1

，此时

\log_3 x

与

\log_{\frac{1}{3}}x

都等于

0

。其余配对没有实数解。

不同交点为

(1,0)

、

(3,1)

、

\left(\dfrac13,-1\right)

、

(3,-1)

和

\left(\dfrac13,1\right)

，所以共有

5

个。

所以正确答案是 D。

Let

u=\log_3 x.

Then

\log_x 3=\dfrac1u,

\log_{\frac{1}{3}}x=-u,

and

\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.

Two graphs meet where two of

u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u

are equal for some valid

x\gt 0.

Setting

u=\dfrac1u

gives

u=\pm1,

so

x=3

or

x=\dfrac13;

setting

-u=-\dfrac1u

gives the same values. Setting

u=-u

gives

u=0,

i.e.

x=1,

where

\log_3 x

and

\log_{\frac{1}{3}}x

are both

0.

The remaining pairings have no real solution.

The distinct intersection points are

(1,0),

(3,1),

\left(\dfrac13,-1\right),

(3,-1),

and

\left(\dfrac13,1\right),

so there are

5.

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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