Question

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ 且 $AB = 12$ 。在三角形外侧作正方形 $ABXY$ 和 $ACWZ$ 。点 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 和 $W$ 在同一个圆上。这个三角形的周长是多少？

In $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ and $AB = 12.$ Squares $ABXY$ and $ACWZ$ are constructed outside of the triangle. The points $X,$ $Y,$ $Z,$ and $W$ lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

$12 + 9\sqrt3$

$18 + 6\sqrt3$

$12 + 12\sqrt2$

$30$

$32$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径直角三角形坐标几何

难度评级：2040

解答：

圆心 $O$ 位于 $XY$ 和 $ZW,$ 的垂直平分线上，而它们也分别是 $AB$ 和 $AC.$ 的垂直平分线。因此 $O$ 是 $\triangle ABC,$ 的外心；又因为 $\angle C = 90^\circ,$ 所以 $O$ 是 $AB.$ 的中点。

令 $a = \tfrac12 BC$ 且 $b = \tfrac12 CA.$ 则 $a^2 + b^2 = 6^2,$ 由 $OX^2 = OW^2$ 得 $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ 因为左边是 $5(a^2+b^2),$ 相减得到 $4a(b-a)=0.$ 所以 $a=b,$ 再由 $2a^2=36$ 得 $a=b=3\sqrt2.$ 因此 $BC=CA=6\sqrt2,$ 周长为 $12+12\sqrt2.$

因此，正确答案是 C。

The center $O$ of the circle lies on the perpendicular bisectors of $XY$ and $ZW,$ which are the same as those of $AB$ and $AC.$ So $O$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ and since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB.$

Let $a = \tfrac12 BC$ and $b = \tfrac12 CA.$ Then $a^2 + b^2 = 6^2,$ and computing $OX^2 = OW^2$ gives $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Because the left side is $5(a^2+b^2),$ subtracting gives $4a(b-a)=0.$ Thus $a=b,$ and $2a^2=36$ gives $a=b=3\sqrt2.$ Therefore $BC=CA=6\sqrt2,$ and the perimeter is $12+12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12B 第 19 题

答案：C

难度评级：2040

解答：

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