2015 AMC 12A 第 16 题

Question

四面体

ABCD

满足

AB = 5

，

AC = 3

，

BC = 4

，

BD = 4

，

AD = 3

，且

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}

。这个四面体的体积是多少？

Tetrahedron

ABCD

has

AB = 5,

AC = 3,

BC = 4,

BD = 4,

AD = 3,

and

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.

What is the volume of the tetrahedron?

3\sqrt{2}

2\sqrt{5}

\dfrac{24}{5}

3\sqrt{3}

\dfrac{24}{5}\sqrt{2}

答案：C

知识点：立体几何体积直角三角形

难度评级：1840

小提示：

三角形

ABC

和

ABD

都是共用边

AB

的

3

-

4

-

5

直角三角形

Triangles

ABC

and

ABD

are both

3

-

4

-

5

right triangles sharing the edge

AB

大提示：

从

C

和

D

向

AB

作高；共同的垂足说明

CD

垂直于底面

ABC

。

Drop altitudes from

C

and

D

to

AB;

their common foot shows

CD

is perpendicular to base

ABC

解答：

三角形

ABC

和

ABD

都是

3

-

4

-

5

直角三角形，面积为

6

，并共用斜边

AB

。设

E

为从

C

向

AB

所作高的垂足，则

CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}

。同样，从

D

向

AB

所作的高也落在同一点

E

，并且

DE = \dfrac{12}{5}

。

三角形

CDE

的边长为

\dfrac{12}{5}

，

\dfrac{12}{5}

，和

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}

，因此它是以

E

为直角顶点的等腰直角三角形。所以

DE \perp CE

且

DE \perp AB

，从而

DE

垂直于平面

ABC

。

四面体的体积为

\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}

= \dfrac{24}{5}

。

因此，正确答案是 C。

Triangles

ABC

and

ABD

are

3

-

4

-

5

right triangles with area

6

and common hypotenuse

AB.

Let

E

be the foot of the altitude from

C

to

AB;

then

CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.

Likewise the altitude from

D

meets

AB

at the same point

E

with

DE = \dfrac{12}{5}.

Triangle

CDE

has sides

\dfrac{12}{5},

\dfrac{12}{5},

and

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},

so it is an isosceles right triangle with the right angle at

E.

Thus

DE \perp CE

and

DE \perp AB,

making

DE

perpendicular to the plane of

ABC.

The tetrahedron’s volume is

\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}

= \dfrac{24}{5}.

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A 第 16 题

答案：C

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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