Question

设 $ABC$ 是一个三角形， $M$ 是 $AC$ 的中点， $CN$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线， $N$ 在 $AB$ 上。设 $X$ 是中线 $BM$ 与角平分线 $CN$ 的交点。另外 $\triangle BXN$ 是等边三角形，且 $AC = 2$ 。 $BN^2$ 是多少？

Let $ABC$ be a triangle where $M$ is the midpoint of $AC,$ and $CN$ is the angle bisector of $\angle ACB$ with $N$ on $AB.$ Let $X$ be the intersection of the median $BM$ and the bisector $CN.$ In addition $\triangle BXN$ is equilateral and $AC = 2.$ What is $BN^2?$

$\dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{5\sqrt2 - 3\sqrt3}{8}$

$\dfrac{\sqrt2}{6}$

$\dfrac{3\sqrt3 - 4}{5}$

答案：A

知识点：角平分线等边三角形余弦定理相似

难度评级：2600

解答：

令 $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ 、 $x = BN$ 。由于 $\triangle BXN$ 是等边三角形，所以 $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ$ ，由此得到 $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ 和 $\triangle ANC \sim \triangle BXC$ 。由第一组相似关系，并利用 $MC = \tfrac12 AC = 1$ ，可得 $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC}$ ，所以 $BC = \sqrt2$ 。由第二组相似关系可得 $CX = (\sqrt2 + 1)x$ 。在 $\triangle BCX$ 中，对 $\angle BXC = 120^\circ$ 应用余弦定理，得到 $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2$ 。因此 $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}$ 。所以正确答案是 A。

Let $\alpha = \angle ACN = \angle NCB$ and $x = BN.$ Since $\triangle BXN$ is equilateral, $\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,$ which gives $\triangle ABC \sim \triangle BMC$ and $\triangle ANC \sim \triangle BXC.$ From the first, with $MC = \tfrac12 AC = 1,$ we get $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},$ so $BC = \sqrt2.$ From the second, $CX = (\sqrt2 + 1)x.$ The Law of Cosines in $\triangle BCX$ with $\angle BXC = 120^\circ$ gives $2 = x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2$ $+ (\sqrt2 + 1)x^2$ $= (5 + 3\sqrt2)x^2.$ Hence $BN^2 = x^2$ $= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}$ $= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.$ Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12B 第 24 题

答案：A

难度评级：2600

解答：

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