Question

$A$ 、 $B$ 和 $C$ 是三堆石头。 $A$ 中石头的平均重量为 $40$ 磅， $B$ 中石头的平均重量为 $50$ 磅，合并 $A$ 和 $B$ 两堆后石头的平均重量为 $43$ 磅，合并 $A$ 和 $C$ 两堆后石头的平均重量为 $44$ 磅。合并 $B$ 和 $C$ 两堆后，石头平均重量的最大可能整数值是多少磅？

$A,$ $B,$ and $C$ are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in $A$ is $40$ pounds, the mean weight of the rocks in $B$ is $50$ pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $B$ is $43$ pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $C$ is $44$ pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles $B$ and $C?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

答案：E

知识点：平均数最优化

难度评级：1980

解答：

设 $a, b, c$ 分别为三堆石头的数量。由 $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ 得 $7b = 3a,$ 所以 $a = 7k$ 且 $b = 3k.$

设 $\mu_{BC}$ 为 $B$ 和 $C.$ 的平均重量。利用 $A, C$ 的平均数 $44$ 表示出 $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ 可得 $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ 所以 $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

因为 $B$ 比 $A,$ 重，所以 $B$ 和 $C$ 的平均数大于 $44,$ 这迫使 $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ 即 $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ 取 $k=15c;$ 时可达到 $59$ ：此时堆 $C$ 的平均重量为 $464$ ，代入上式得 $\mu_{BC}=59.$ 因此最大的整数平均数是 $59.$

因此，正确答案是 E。

Let $a, b, c$ be the numbers of rocks in the piles. From $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ we get $7b = 3a,$ so $a = 7k$ and $b = 3k.$

Let $\mu_{BC}$ be the mean of $B$ and $C.$ Using the $A, C$ mean $44$ to express $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ we find $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ so $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Since $B$ is heavier than $A,$ the mean of $B$ and $C$ exceeds $44,$ forcing $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ i.e. $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ The value $59$ is attainable by taking $k=15c;$ then pile $C$ has mean $464$ and the displayed formula gives $\mu_{BC}=59.$ Thus the greatest integer mean is $59.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A 第 16 题

答案：E

难度评级：1980

解答：

其他年份的第 16 题