Question

一个单位立方体的顶点为 $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ ， $P_4$ ， $P_1'$ ， $P_2'$ ， $P_3'$ ，和 $P_4'$ 。顶点 $P_2$ ， $P_3$ ，和 $P_4$ 都与 $P_1$ ，相邻，并且对 $1 \le i \le 4$ ，顶点 $P_i$ 与 $P_i'$ 互为对顶点。一个正八面体在每条线段 $P_1P_2$ ， $P_1P_3$ ， $P_1P_4$ ， $P_1'P_2'$ ， $P_1'P_3'$ ，和 $P_1'P_4'$ 上各有一个顶点。这个八面体的边长是多少？

A unit cube has vertices $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $P_1',$ $P_2',$ $P_3',$ and $P_4'.$ Vertices $P_2,$ $P_3,$ and $P_4$ are adjacent to $P_1,$ and for $1 \le i \le 4,$ vertices $P_i$ and $P_i'$ are opposite to each other. A regular octahedron has one vertex in each of the segments $P_1P_2,$ $P_1P_3,$ $P_1P_4,$ $P_1'P_2',$ $P_1'P_3',$ and $P_1'P_4'.$ What is the octahedron's side length?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{7\sqrt{6}}{16}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

答案：A

知识点：正方体勾股定理对称性

难度评级：2110

解答：

把 $P_1$ 放在原点，使三条棱沿坐标轴，并设靠近 $P_1$ 的三个八面体顶点都与 $P_1$ 相距 $t$ 。由对称性，靠近 $P_1'$ 的三个顶点也都与 $P_1'$ 相距 $t$ 。

两个同靠近 $P_1$ 的顶点，例如 $(t,0,0)$ 和 $(0,t,0)$ ，相距 $t\sqrt2$ 。靠近 $P_1$ 的一个顶点，例如 $(t,0,0)$ ，与靠近 $P_1'$ 的相应顶点，例如 $(1,1-t,1)$ ，之间也必须有相同距离。

令这两种边长的平方相等，并使用单位立方体的棱长，得到 $t=\tfrac34$ ，因此边长为 $t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}$ 。

因此正确答案是 A。

Place $P_1$ at the origin with edges along the axes, and let each of the three octahedron vertices near $P_1$ be a distance $t$ from $P_1;$ by symmetry the three near $P_1'$ are also a distance $t$ from $P_1'.$

Two vertices sharing $P_1,$ such as $(t,0,0)$ and $(0,t,0),$ are a distance $t\sqrt2$ apart. A vertex near $P_1,$ say $(t,0,0),$ and the appropriate vertex near $P_1',$ say $(1,1-t,1),$ must be the same distance apart.

Setting the two squared side lengths equal and using the cube's unit edges yields $t=\tfrac34,$ so the side length is $t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12B 第 19 题

答案：A

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 19 题