2012 AMC 12B 第 19 题

Question

一个单位立方体的顶点为

P_1

，

P_2

，

P_3

，

P_4

，

P_1'

，

P_2'

，

P_3'

，和

P_4'

。顶点

P_2

，

P_3

，和

P_4

都与

P_1

相邻，并且对

1 \le i \le 4

，顶点

P_i

与

P_i'

互为对顶点。一个正八面体在每条线段

P_1P_2

，

P_1P_3

，

P_1P_4

，

P_1'P_2'

，

P_1'P_3'

，和

P_1'P_4'

上各有一个顶点。这个八面体的边长是多少？

A unit cube has vertices

P_1,

P_2,

P_3,

P_4,

P_1',

P_2',

P_3',

and

P_4'.

Vertices

P_2,

P_3,

and

P_4

are adjacent to

P_1,

and for

1 \le i \le 4,

vertices

P_i

and

P_i'

are opposite to each other. A regular octahedron has one vertex in each of the segments

P_1P_2,

P_1P_3,

P_1P_4,

P_1'P_2',

P_1'P_3',

and

P_1'P_4'.

What is the octahedron’s side length?

\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

\dfrac{7\sqrt{6}}{16}

\dfrac{\sqrt{5}}{2}

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

\dfrac{\sqrt{6}}{2}

答案：A

知识点：正方体勾股定理对称性

难度评级：2110

小提示：

由对称性，每个八面体顶点沿对应棱到

P_1

（或

P_1'

）的距离都是同一个

t

By symmetry each octahedron vertex is the same distance

t

from

P_1

(or

P_1'

) along its edge

大提示：

令两个同靠近

P_1

的顶点之间的距离平方等于跨过去的一条边的距离平方，并解出

t

Set the squared distance between two vertices sharing

P_1

equal to the squared distance across, and solve for

t

解答：

把

P_1

放在原点，使三条棱沿坐标轴，并设靠近

P_1

的三个八面体顶点都与

P_1

相距

t

。由对称性，靠近

P_1'

的三个顶点也都与

P_1'

相距

t

。

两个同靠近

P_1

的顶点，例如

(t,0,0)

和

(0,t,0)

，相距

t\sqrt2

。靠近

P_1

的一个顶点，例如

(t,0,0)

，与靠近

P_1'

的相应顶点，例如

(1,1-t,1)

，之间也必须有相同距离。

令这两种边长的平方相等，并使用单位立方体的棱长，得到

t=\tfrac34

，因此边长为

t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}

。

因此正确答案是 A。

Place

P_1

at the origin with edges along the axes, and let each of the three octahedron vertices near

P_1

be a distance

t

from

P_1;

by symmetry the three near

P_1'

are also a distance

t

from

P_1'.

Two vertices sharing

P_1,

such as

(t,0,0)

and

(0,t,0),

are a distance

t\sqrt2

apart. A vertex near

P_1,

say

(t,0,0),

and the appropriate vertex near

P_1',

say

(1,1-t,1),

must be the same distance apart.

Setting the two squared side lengths equal and using the cube’s unit edges yields

t=\tfrac34,

so the side length is

t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12B 第 19 题

答案：A

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题