2012 AMC 12A 第 16 题

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16.

圆

C_1

的圆心

O

在圆

C_2

上。两个圆相交于

X

和

Y

。点

Z

在

C_1

外部，且在圆

C_2

上，并满足

XZ = 13

，

OZ = 11

，

YZ = 7

。圆

C_1

的半径是多少？

Circle

C_1

has its center

O

lying on circle

C_2.

The two circles meet at

X

and

Y.

Point

Z

in the exterior of

C_1

lies on circle

C_2

and

XZ = 13,

OZ = 11,

and

YZ = 7.

What is the radius of circle

C_1?

5

\sqrt{26}

3\sqrt{3}

2\sqrt{7}

\sqrt{30}

答案：E

知识点：余弦定理弦圆

难度评级：1870

小提示：

设半径为

r

，则

OX = OY = r

；这些是

C_2

的等弦，因此在

Z

处所对的角相等

Let

r

be the radius, so

OX = OY = r

; these equal chords of

C_2

subtend equal angles at

Z

大提示：

对三角形

XZO

和

YZO

使用余弦定理，并令两个

\cos\angle Z

的表达式相等

Apply the Law of Cosines to triangles

XZO

and

YZO

and set the two expressions for

\cos\angle Z

equal

解答：

设

C_1

的半径为

r

，所以

OX = OY = r

。它们是

C_2

的等弦，因此在

Z

处所对角相等：

\angle XZO = \angle OZY

。

对三角形

XZO

和

YZO

使用余弦定理，

\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11} \end{aligned}\text{。}

清去分母并求解，得到

r^2 = 30

，所以

r = \sqrt{30}

。

因此，正确答案是 E。

Let

r

be the radius of

C_1,

so

OX = OY = r.

These are equal chords of

C_2,

so they subtend equal angles at

Z:

\angle XZO = \angle OZY.

Applying the Law of Cosines to triangles

XZO

and

YZO,

\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}

Clearing denominators and solving gives

r^2 = 30,

so

r = \sqrt{30}.

Thus, the correct answer is E.

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