Question

令 $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ ，且 $g(z) = f(f(z))$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是复数。假设 $|a| = 1$ ，并且对所有使 $g(g(z))$ 有定义的 $z$ ，都有 $g(g(z)) = z$ 。 $|b|$ 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Let $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ and $g(z) = f(f(z)),$ where $a$ and $b$ are complex numbers. Suppose that $|a| = 1$ and $g(g(z)) = z$ for all $z$ for which $g(g(z))$ is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of $|b|?$

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$\sqrt{3} - 1$

$1$

$2$

答案：C

知识点：复数矩阵单位根

难度评级：2560

解答：

直接复合可得 $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ 其中 $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ 且 $D=a+b^2.$

矩阵 $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ 表示变换 $g.$ 要使 $g\circ g$ 为恒等变换，它的平方必须是标量矩阵。比较非对角元和两个对角元，得到两种可能：或者 $B=C=0$ 且 $A=D,$ 或者 $A+D=0.$ 第一种给出 $b=-1$ （其中 $a\ne-1$ ）；第二种给出 $b^2=-(1+2a).$

在第二种情形中， $|b|^2=|1+2a|.$ 当 $a$ 绕单位圆变化时， $|1+2a|$ 的取值从 $1$ 到 $3,$ 所以 $1\le|b|\le\sqrt3.$ 两个端点都能取得：分别取 $(a,b)=(-1,1)$ 和 $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ 单独的情形 $b=-1$ 也满足 $|b|=1.$ 因此所求差为 $\sqrt3-1.$

因此，正确答案是 C。

Direct composition gives $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ where $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ and $D=a+b^2.$

The matrix $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ represents $g.$ For $g\circ g$ to be the identity, its square must be scalar. Comparing the off-diagonal entries and the two diagonal entries gives two possibilities: either $B=C=0$ and $A=D,$ or $A+D=0.$ The first gives $b=-1$ (with $a\ne-1$ ); the second gives $b^2=-(1+2a).$

In the second case, $|b|^2=|1+2a|.$ As $a$ runs around the unit circle, $|1+2a|$ ranges from $1$ to $3,$ so $1\le|b|\le\sqrt3.$ Both endpoints occur: take $(a,b)=(-1,1)$ and $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ The separate case $b=-1$ also has $|b|=1.$ Therefore the requested difference is $\sqrt3-1.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 23 题