Question

对每个整数 $n\ge2$ ，令 $\operatorname{pow}(n)$ 为整除 $n$ 的最大质数的最大幂。例如， $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2$ 。求最大的整数 $m$ ，使得 $2010^m$ 整除 $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

For every integer $n\ge2,$ let $\operatorname{pow}(n)$ be the largest power of the largest prime that divides $n.$ For example, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ What is the largest integer $m$ such that $2010^m$ divides $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

答案：D

知识点：质因数分解质数区间内整数计数

难度评级：2640

解答：

因为 $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ 将乘积写成 $2^A3^B5^C67^D$ 乘以一个与这四个质数都互质的因子；于是 $m=\min(A,B,C,D).$

质数 $2:$ 只有当 $n=2^k.$ 时， $\operatorname{pow}(n)$ 才是 $2$ 的幂。因为 $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ 所以 $k=1,\ldots,12$ 贡献 $A=1+2+\cdots+12=78.$

质数 $67:$ 当 $67$ 是最大质因数时， $\operatorname{pow}(n)=67$ ，即 $n=67j$ ，其中 $1\le j\le79$ ，且 $j$ 的每个质因数都至多为 $67;$ 排除 $j=67, 71, 73, 79$ 后剩下 $75$ 个值。唯一满足 $\operatorname{pow}(n)=67^2$ 的 $n$ 是 $n=67^2\lt5300,$ 再贡献 $2.$ 所以 $D=75+2=77.$

质数 $3:$ 对于 $n=2^a3^b$ ，当 $b=1,2,3,4,$ 时，允许的指数 $a$ 的个数分别为 $11,10,8,7,$ 仅这些项就贡献 $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83. \end{aligned}$

质数 $5:$ 写成 $n=2^a3^c5^b.$ 当 $b=1,$ 时，对 $c=0,ldots,6$ 的计数总和为 $11+9+7+6+4+3+1=41.$ 当 $b=2,$ 时，计数总和为 $8+7+5+3+2=25,$ 每个贡献两个因数 $5.$ 因此 $C\ge41+2\cdot25=91.$

所以 $m=\min(78,B,C,77)=77.$

因此，正确答案是 D。

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ write the product as $2^A3^B5^C67^D$ times a factor coprime to all four primes; then $m=\min(A,B,C,D).$

Prime $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ is a power of $2$ only when $n=2^k.$ Since $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ the values $k=1,\ldots,12$ contribute $A=1+2+\cdots+12=78.$

Prime $67:$ $\operatorname{pow}(n)=67$ when $67$ is the largest prime factor, i.e. $n=67j$ with $1\le j\le79$ and every prime factor of $j$ at most $67;$ excluding $j=67, 71, 73, 79$ leaves $75$ values. The one $n$ with $\operatorname{pow}(n)=67^2$ is $n=67^2\lt5300,$ adding $2.$ So $D=75+2=77.$

Prime $3:$ For $n=2^a3^b$ with $b=1,2,3,4,$ the numbers of allowable exponents $a$ are $11,10,8,7,$ respectively. These terms alone contribute $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83. \end{aligned}$

Prime $5:$ Write $n=2^a3^c5^b.$ For $b=1,$ the counts over $c=0,ldots,6$ total $11+9+7+6+4+3+1=41.$ For $b=2,$ the counts total $8+7+5+3+2=25,$ each contributing two factors of $5.$ Hence $C\ge41+2\cdot25=91.$

Therefore $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B 第 25 题

答案：D

难度评级：2640

解答：

其他年份的第 25 题