Question

对每个正整数 $n$ ，令 $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400$ 。所有为质数的 $f(n)$ 的值之和是多少？

For each positive integer $n,$ let $f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.$ What is the sum of all values of $f(n)$ that are prime numbers?

$794$

$796$

$798$

$800$

$802$

答案：E

知识点：平方差因式分解质数

难度评级：2000

解答：

写成 $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

要使 $f(n)$ 为质数，较小因子必须为 $1$ 。解 $n^2 - 20n + 20 = 1$ 得 $(n - 1)(n - 19) = 0$ ，所以 $n = 1$ 或 $n = 19$ 。

此时 $f(1) = 41$ ， $f(19) = 761$ ，二者都是质数，和为 $802$ 。

所以正确答案是 E。

Write $\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}$

For $f(n)$ to be prime the smaller factor must be $1$ : solving $n^2 - 20n + 20 = 1$ gives $(n - 1)(n - 19) = 0,$ so $n = 1$ or $n = 19.$

Then $f(1) = 41$ and $f(19) = 761$ are both prime, summing to $802.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12B 第 19 题

答案：E

难度评级：2000

解答：

其他年份的第 19 题