2009 AMC 12B 第 19 题

Question

对每个正整数

n

，令

f(n) = n^4 - 360n^2 + 400

。所有为质数的

f(n)

的值之和是多少？

For each positive integer

n,

let

f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.

What is the sum of all values of

f(n)

that are prime numbers?

794

796

798

800

802

答案：E

知识点：平方差因式分解质数

难度评级：2000

小提示：

改写成平方差：

n^4 - 360n^2 + 400

= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2

。

Rewrite as a difference of squares:

n^4 - 360n^2 + 400

= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2

大提示：

将它因式分解；若乘积为质数，则较小因子必须等于

1

。

Factor it; for the product to be prime, the smaller factor must equal

1

解答：

写成

\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20) \end{aligned}\text{。}

要使

f(n)

为质数，较小因子必须为

1

。解

n^2 - 20n + 20 = 1

得

(n - 1)(n - 19) = 0

，所以

n = 1

或

n = 19

。

此时

f(1) = 41

，

f(19) = 761

，二者都是质数，和为

802

。

所以正确答案是 E。

Write

\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}

For

f(n)

to be prime the smaller factor must be

1

: solving

n^2 - 20n + 20 = 1

gives

(n - 1)(n - 19) = 0,

so

n = 1

or

n = 19.

Then

f(1) = 41

and

f(19) = 761

are both prime, summing to

802.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12B 第 19 题

答案：E

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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