Question

一个平面中有点 $A$ 和 $B$ ，且 $AB = 1$ 。设 $S$ 为平面中所有覆盖线段 $\overline{AB}$ 的半径为 $1$ 的圆盘的并集。 $S$ 的面积是多少？

A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1.$ Let $S$ be the union of all disks of radius $1$ in the plane that cover $\overline{AB}.$ What is the area of $S?$

$2\pi + \sqrt{3}$

$\dfrac{8\pi}{3}$

$3\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{10\pi}{3} - \sqrt{3}$

$4\pi - 2\sqrt{3}$

答案：C

知识点：面积分割扇形圆

难度评级：2350

解答：

一个半径为 $1$ 的圆盘覆盖线段 $\overline{AB}$ ，当且仅当它的圆心到 $A$ 和 $B$ 的距离都不超过 $1$ 。这个区域 $R$ 是以 $A$ 和 $B$ 为圆心的两个单位圆的重叠透镜。

每个单位圆都经过另一个圆的圆心，所以透镜由两段 $120^\circ$ 圆弧围成。两个 $120^\circ$ 扇形的面积各为 $\tfrac{\pi}{3}$ ，重叠中扣掉的两个等边三角形总面积为 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ ，所以 $R$ 的面积为 $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}$ 。

集合 $S$ 由所有到 $R$ 距离不超过 $1$ 的点组成。除 $R$ 本身外，还增加两个 $60^\circ$ 半径 $1$ 的扇形（每个面积 $\tfrac{\pi}{6}$ ）和两个 $120^\circ$ 外半径 $2$ 、内半径 $1$ 的环形区域（每个面积 $\pi$ ）。

因此 $S$ 的面积为 $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

A radius- $1$ disk covers segment $\overline{AB}$ exactly when its center is within $1$ of both $A$ and $B.$ That region $R$ is the lens where the two unit circles centered at $A$ and $B$ overlap.

Each unit circle passes through the other's center, so the lens is bounded by two $120^\circ$ arcs. Two $120^\circ$ sectors of area $\tfrac{\pi}{3}$ overlap in two equilateral triangles of total area $\tfrac{\sqrt3}{2},$ giving $R$ area $\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$

The set $S$ consists of all points within $1$ of $R.$ Beyond $R$ itself, this adds two $60^\circ$ sectors of radius $1$ (each area $\tfrac{\pi}{6}$ ) and two $120^\circ$ annuli of outer radius $2$ and inner radius $1$ (each area $\pi$ ).

Therefore the area of $S$ is $\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12A 第 24 题

答案：C

难度评级：2350

解答：

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