2003 AMC 12B 第 24 题

Question

选择正整数

a

、

b

、

c

，使得

a \lt b \lt c

，且方程组

2x + y = 2003

和

\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}

恰有一个解。

c

的最小值是多少？

Positive integers

a,

b,

and

c

are chosen so that

a \lt b \lt c,

and the system of equations

2x + y = 2003

and

\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}

has exactly one solution. What is the minimum value of

c?

668

669

1002

2003

2004

答案：C

知识点：绝对值方程组

难度评级：2160

小提示：

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

的图像是分段线性的，斜率为

-3, -1, 1, 3

The graph of

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

is piecewise linear with slopes

-3, -1, 1, 3

大提示：

直线斜率为

-2

；恰有一个交点要求它经过

x = a

处的折点，那里

y = b + c - 2a

The line has slope

-2;

a single intersection forces it to touch the corner at

x = a,

where

y = b + c - 2a

解答：

函数

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

是分段线性的，斜率依次为

-3, -1, 1, 3

，折点在

x = a, b, c

。直线

2x + y = 2003

的斜率为

-2

。

斜率为

-2

的直线与该图像恰好相交一次，当且仅当它经过最左边的折点

(a,\, b + c - 2a)

，此处图像斜率从

-3

跳到

-1

。代入得到

2a + (b + c - 2a) = 2003\text{，}

所以

b + c = 2003

。

因为

b \lt c

，必须有

c \gt \dfrac{2003}{2}

，所以

c \ge 1002

。这个下界可以达到：取

a = 1

，

b = 1001

，和

c = 1002

。因此最小值为

1002

。

所以正确答案是 C。

The function

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

is piecewise linear with slopes

-3, -1, 1, 3

and corners at

x = a, b, c.

The line

2x + y = 2003

has slope

-2.

A line of slope

-2

meets this graph exactly once only if it passes through the leftmost corner

(a,\, b + c - 2a),

where the graph’s slope jumps from

-3

to

-1.

Substituting,

2a + (b + c - 2a) = 2003,

so

b + c = 2003.

Since

b \lt c,

we need

c \gt \dfrac{2003}{2},

so

c \ge 1002.

This bound is attained: take

a = 1,

b = 1001,

and

c = 1002.

Therefore the minimum is

1002.

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

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