2003 AMC 12A 第 25 题

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25.

设

f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}

。有多少个实数

a

满足：至少存在一个正数

b

，使得

f

的定义域和

f

的值域是同一个集合？

Let

f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.

For how many real values of

a

is there at least one positive value of

b

for which the domain of

f

and the range of

f

are the same set?

0

1

2

3

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：函数根式分类讨论

难度评级：2380

小提示：

若

a=0

，对任意

b\gt0

，定义域和值域都等于

[0,\infty)

。

If

a=0,

both the domain and range equal

[0,\infty)

for every

b\gt0

大提示：

若

a\lt0

，定义域为

[0,-\frac{b}{a}]

而

f

的最大值为

\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}

。

For

a\lt0

the domain is

[0,-\frac{b}{a}]

and the maximum of

f

is

\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}

解答：

若

a=0

则

f(x)=\sqrt{bx}

的定义域和值域都是

[0,\infty)

，所以

a=0

可行。

若

a\gt0

，定义域为

({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)

，而值域为

[0,\infty)

，二者不相同，因此没有这样的

b

。

若

a\lt0

，定义域是

[0,-\frac{b}{a}]

，值域是

\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right]

。令右端点相等，得

-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}

，所以

2\sqrt{-a}=-a

，从而

a=-4

。

因此共有

2

个

a

值，所以正确答案是 C。

If

a=0,

then

f(x)=\sqrt{bx}

has domain and range both

[0,\infty),

so

a=0

works.

If

a\gt0,

the domain is

({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty),

while the range is

[0,\infty),

so no such

b

exists.

If

a\lt0,

the domain is

[0,-\frac{b}{a}]

and the range is

\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].

Equating the right endpoints gives

-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},

so

2\sqrt{-a}=-a,

giving

a=-4.

Thus there are

2

values of

a,

and the correct answer is C.

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