Question

设 $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}$ 。有多少个实数 $a$ 满足：至少存在一个正数 $b$ ，使得 $f$ 的定义域和 $f$ 的值域是同一个集合？

Let $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.$ For how many real values of $a$ is there at least one positive value of $b$ for which the domain of $f$ and the range of $f$ are the same set?

$0$

$1$

$2$

$3$

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：函数根式分类讨论

难度评级：2380

解答：

若 $a=0$ 则 $f(x)=\sqrt{bx}$ 的定义域和值域都是 $[0,\infty)$ ，所以 $a=0$ 可行。

若 $a\gt0$ ，定义域为 $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)$ ，而值域为 $[0,\infty)$ ，二者不相同，因此没有这样的 $b$ 。

若 $a\lt0$ ，定义域是 $[0,-b/a]$ ，值域是 $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right]$ 。令右端点相等，得 $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}$ ，所以 $2\sqrt{-a}=-a$ ，从而 $a=-4$ 。

因此共有 $2$ 个 $a$ 值，所以正确答案是 C。

If $a=0,$ then $f(x)=\sqrt{bx}$ has domain and range both $[0,\infty),$ so $a=0$ works.

If $a\gt0,$ the domain is $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty),$ while the range is $[0,\infty),$ so no such $b$ exists.

If $a\lt0,$ the domain is $[0,-b/a]$ and the range is $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].$ Equating the right endpoints gives $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},$ so $2\sqrt{-a}=-a,$ giving $a=-4.$

Thus there are $2$ values of $a,$ and the correct answer is C.

2003 AMC 12A 第 25 题

答案：C

难度评级：2380

解答：

其他年份的第 25 题