2003 AMC 12A 第 19 题

Question

方程为

y = ax^2 + bx + c

的抛物线关于

x

-轴反射。原抛物线和反射后的抛物线分别向相反方向水平平移五个单位，成为

y = f(x)

和

y = g(x)

的图像。下列哪一项描述了

y = (f + g)(x)

的图像？

A parabola with equation

y = ax^2 + bx + c

is reflected about the

x

-axis. The parabola and its reflection are translated horizontally five units in opposite directions to become the graphs of

y = f(x)

and

y = g(x),

respectively. Which of the following describes the graph of

y = (f + g)(x)?

一条与

x

-轴相切的抛物线

a parabola tangent to the

x

-axis

一条不与

x

-轴相切的抛物线

a parabola not tangent to the

x

-axis

一条水平直线

a horizontal line

一条非水平直线

a non-horizontal line

一个三次函数的图像

the graph of a cubic function

答案：D

知识点：抛物线变换函数

难度评级：1840

小提示：

把抛物线写成

a(x-h)^2+k

；它的反射为

-a(x-h)^2-k

。

Write the parabola as

a(x-h)^2+k;

its reflection is

-a(x-h)^2-k

大提示：

做相反的

\pm5

平移后，把

f

和

g

相加，观察平方项抵消。

After the opposite

\pm5

shifts, add

f

and

g

and watch the squared terms cancel

解答：

把抛物线写成顶点式

y=a(x-h)^2+k

。关于

x

轴反射后，方程为

y=-a(x-h)^2-k

。

向相反方向平移后，可写成

f(x)=a(x-h+5)^2+k

和

g(x)=-a(x-h-5)^2-k

。

两式相加后平方项抵消，得到

(f+g)(x)=20a(x-h)

。因为

a\neq0

，它是一条非水平直线。

所以正确答案是 D。

Write the parabola in vertex form

y=a(x-h)^2+k.

Its reflection about the

x

-axis is

y=-a(x-h)^2-k.

Shifting in opposite directions gives

f(x)=a(x-h+5)^2+k

and

g(x)=-a(x-h-5)^2-k.

Adding, the squared terms cancel and

(f+g)(x)=20a(x-h),

which is a non-horizontal line since

a\neq0.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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