2002 AMC 12B 第 19 题

Question

若正实数

a

、

b

、

c

满足

a(b+c)=152

、

b(c+a)=162

、且

c(a+b)=170

，则

abc

等于多少？

If

a,

b,

and

c

are positive real numbers such that

a(b+c)=152,

b(c+a)=162,

and

c(a+b)=170,

then

abc

is

672

688

704

720

750

答案：D

知识点：方程组对称性（代数）

难度评级：1540

小提示：

把三个方程相加，得到

ab+bc+ca

。

Add all three equations to get

ab+bc+ca

大提示：

用这个总和分别减去原来的三个方程，求出

ab

，

bc

，

ca

，再相乘并开平方。

Subtract each original equation from that total to find

ab,

bc,

ca,

then multiply and take a square root

解答：

三个方程相加得

2(ab+bc+ca)=484

，所以

ab+bc+ca=242

。用它分别减去原来的三个方程，得到

bc=90

、

ca=80

、

ab=72

。

相乘得

(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2

。又因

abc\gt0

，所以

abc=720

。

所以正确答案是 D。

Adding the three equations gives

2(ab+bc+ca)=484,

so

ab+bc+ca=242.

Subtracting each original equation from this yields

bc=90,

ca=80,

and

ab=72.

Multiplying,

(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,

and since

abc\gt0,

we get

abc=720.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B 第 19 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

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