Question

在三角形 $ABC$ 中， $\angle ABC = 45^\circ$ 。点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $2 \cdot BD = CD$ ，且 $\angle DAB = 15^\circ$ 。求 $\angle ACB$ 。

In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 45^\circ.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $2 \cdot BD = CD$ and $\angle DAB = 15^\circ.$ Find $\angle ACB.$

$54^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

答案：D

知识点：导角等腰三角形特殊直角三角形

难度评级：2110

解答：

设 $E$ 为从 $C$ 到直线 $AD$ 的垂足。由 $\triangle ADB$ 的外角可得 $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ$ ，所以 $\triangle CDE$ 是一个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，且 $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD$ 。

因此 $\triangle BDE$ 是等腰三角形， $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ$ ，又因为 $\angle ECB = 30^\circ$ 所以 $\triangle BEC$ 是等腰三角形， $BE = EC$ 。

同时 $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB$ ，所以 $\triangle ABE$ 是等腰三角形， $AE = BE$ 。因此 $AE = BE = EC$ ，使得直角三角形 $AEC$ 为等腰直角三角形， $\angle ECA = 45^\circ$ 。

所以 $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $E$ be the foot of the perpendicular from $C$ to line $AD.$ The exterior angle of $\triangle ADB$ gives $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ,$ so $\triangle CDE$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.$

Then $\triangle BDE$ is isosceles with $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ,$ and since $\angle ECB = 30^\circ$ too, $\triangle BEC$ is isosceles with $BE = EC.$

Also $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB,$ so $\triangle ABE$ is isosceles with $AE = BE.$ Hence $AE = BE = EC,$ making right triangle $AEC$ isosceles with $\angle ECA = 45^\circ.$

Therefore $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：2110

解答：

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