Question

若圆弧 $AC$ 和 $BC$ 的圆心分别为 $B$ 和 $A$ ，则存在一个圆同时与圆弧 $AC$ 、圆弧 $BC$ 以及线段 $\overline{AB}$ 相切。若圆弧 $BC$ 的长度为 $12$ ，则这个圆的周长是多少？

If circular arcs $AC$ and $BC$ have centers at $B$ and $A,$ respectively, then there exists a circle tangent to both arc $AC$ and arc $BC,$ and to $\overline{AB}.$ If the length of arc $BC$ is $12,$ then what is the circumference of the circle?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

答案：D

知识点：圆幂相切圆弧

难度评级：2390

解答：

每条圆弧的半径都是 $AB$ ，且 $C$ 到 $A$ 和 $B$ 的距离都为 $AB$ 所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形。因此圆弧 $BC$ 对应半径为 $AB$ 的圆上的 $60^\circ$ 圆心角，该大圆的整周长为 $6 \cdot 12 = 72$ 。

设小圆半径为 $r$ ，并在线段 $\overline{AB}$ 的中点 $D$ 处相切，其中 $AD = \tfrac12 AB$ 。由点幂定理， $AD^2 = AB(AB - 2r)$ ，所以从而 $2r = \tfrac34 AB$ ，因而 $r = \tfrac38 AB$ 。 $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$

周长之比等于半径之比，所以小圆的周长为 $\tfrac38 \cdot 72 = 27$ 。

因此，正确答案是 D。

Each arc has radius $AB,$ and $C$ is at distance $AB$ from both $A$ and $B,$ so $\triangle ABC$ is equilateral. Thus arc $BC$ subtends $60^\circ$ of a circle of radius $AB,$ whose full circumference is $6 \cdot 12 = 72.$

Let the small circle have radius $r$ and touch $\overline{AB}$ at its midpoint $D,$ where $AD = \tfrac12 AB.$ By Power of a Point, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ so $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ giving $2r = \tfrac34 AB,$ hence $r = \tfrac38 AB.$

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle's circumference is $\tfrac38 \cdot 72 = 27.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：2390

解答：

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