2000 AMC 12 第 24 题

Question

若圆弧

AC

和

BC

的圆心分别为

B

和

A

，则存在一个圆同时与圆弧

AC

、圆弧

BC

以及线段

\overline{AB}

相切。若圆弧

BC

的长度为

12

，则这个圆的周长是多少？

If circular arcs

AC

and

BC

have centers at

B

and

A,

respectively, then there exists a circle tangent to both arc

AC

and arc

BC,

and to

\overline{AB}.

If the length of arc

BC

is

12,

then what is the circumference of the circle?

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答案：D

知识点：圆幂相切圆弧

难度评级：2390

小提示：

两条圆弧的半径都是

AB

，且

C

到

A

和

B

的距离都为

AB

，所以

\triangle ABC

是等边三角形。

Both arcs have radius

AB,

and

C

is at distance

AB

from both

A

and

B,

so

\triangle ABC

is equilateral

大提示：

在

A

点使用幂定理，并用

AD = \tfrac12 AB

求小圆半径

r = \tfrac38 AB

。

Use Power of a Point at

A

with

AD = \tfrac12 AB

to find the small circle’s radius

r = \tfrac38 AB

解答：

每条圆弧的半径都是

AB

，且

C

到

A

和

B

的距离都为

AB

，所以

\triangle ABC

是等边三角形。因此圆弧

BC

对应半径为

AB

的圆上的

60^\circ

圆心角，该大圆的整周长为

6 \cdot 12 = 72

。

设小圆半径为

r

，并在线段

\overline{AB}

的中点

D

处相切，其中

AD = \tfrac12 AB

。由点幂定理，

AD^2 = AB(AB - 2r)

，所以

\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB\text{，}

从而

2r = \tfrac34 AB

，因而

r = \tfrac38 AB

。

周长之比等于半径之比，所以小圆的周长为

\tfrac38 \cdot 72 = 27

。

因此，正确答案是 D。

Each arc has radius

AB,

and

C

is at distance

AB

from both

A

and

B,

so

\triangle ABC

is equilateral. Thus arc

BC

subtends

60^\circ

of a circle of radius

AB,

whose full circumference is

6 \cdot 12 = 72.

Let the small circle have radius

r

and touch

\overline{AB}

at its midpoint

D,

where

AD = \tfrac12 AB.

By Power of a Point,

AD^2 = AB(AB - 2r),

so

\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,

giving

2r = \tfrac34 AB,

hence

r = \tfrac38 AB.

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle’s circumference is

\tfrac38 \cdot 72 = 27.

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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