1997 AMC 12 第 25 题

Question

设

ABCD

为平行四边形，空间中的射线

\overrightarrow{AA'}

、

\overrightarrow{BB'}

、

\overrightarrow{CC'}

、

\overrightarrow{DD'}

互相平行，并且位于

ABCD

所在平面的同一侧。若

AA'=10

、

BB'=8

、

CC'=18

、

DD'=22

，且

M

、

N

分别是

A'C'

、

B'D'

的中点，则

MN=

Let

ABCD

be a parallelogram and let

\overrightarrow{AA'},

\overrightarrow{BB'},

\overrightarrow{CC'},

and

\overrightarrow{DD'}

be parallel rays in space on the same side of the plane determined by

ABCD.

If

AA'=10,

BB'=8,

CC'=18,

DD'=22,

and

M

and

N

are the midpoints of

A'C'

and

B'D',

respectively, then

MN=

0

1

2

3

4

答案：B

知识点：vectors three-dimensional geometry

难度评级：2010

小提示：

使用向量以及平行四边形恒等式

A+C=B+D

Use vectors and the parallelogram identity

A+C=B+D

大提示：

两个中点在平面方向上的分量相同，只需比较沿射线方向的分量

The planar components of the two midpoints coincide; compare only their ray-direction components

解答：

取各射线的共同方向为单位向量

u

。于是

\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u \end{aligned}\text{。}

对于平行四边形有

A+C=B+D

，所以

N-M=u

，从而

MN=1

。正确答案是 B。

Choose the common ray direction as a unit vector

u.

Then

\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}

Since

A+C=B+D

for a parallelogram,

N-M=u,

so

MN=1.

The correct answer is B.

1997 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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