1996 AMC 12 第 24 题

Question

数列

\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}

由若干个

1

组成，相邻两项之间隔着由

2

构成的数块，第

n

个数块中有

n

个

2

。这个数列前

1234

项的和是

The sequence

\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}

consists of

1

’s separated by blocks of

2

’s with

n

2

’s in the

n

th block. The sum of the first

1234

terms of this sequence is

1996

2419

2429

2439

2449

答案：B

知识点：sequences triangular numbers

难度评级：1860

小提示：

计算到第

k

个数块末尾为止的总项数

Count the total number of terms through the end of the

k

th block

大提示：

找出第

1234

项之前最后一个完整数块，再计算下一个数块中的部分项

Find the last complete block before term

1234

, then account for the partial next block

解答：

到第

k

个数块为止，有

k

个一和

\frac{k(k+1)}{2}

个二，因此共有

\frac{k(k+3)}{2}

项。当

k=48

时，项数为

1224

。这些项的和为

48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400\text{。}

接下来的

10

项是一个

1

和九个

2

，和为

19

。所求总和为

2419

，所以正确答案是 B。

Through block

k

there are

k

ones and

\frac{k(k+1)}{2}

twos, hence

\frac{k(k+3)}{2}

terms. For

k=48

this is

1224.

Their sum is

48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.

The next

10

terms are one

1

and nine

2

’s, with sum

19.

The requested sum is

2419,

so the correct answer is B.

1996 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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