1988 AMC 12 第 25 题

Question

X

、

Y

和

Z

是两两不相交的人员集合。集合

X

、

Y

、

Z

、

X\cup Y

、

X\cup Z

和

Y\cup Z

中人员的平均年龄如下表所示。

集合	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
集合中人员的平均年龄	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

求集合

X\cup Y\cup Z

中人员的平均年龄。

X,

Y,

and

Z

are pairwise disjoint sets of people. The average ages of people in the sets

X,

Y,

Z,

X\cup Y,

X\cup Z,

and

Y\cup Z

are given in the table below.

Set	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
Average age of people in the set	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

Find the average age of the people in the set

X\cup Y\cup Z.

33

33.5

33.66

33.833

34

答案：E

知识点：weighted averages systems of equations set cardinality

难度评级：2110

小提示：

设

x,y,z

分别为这三个集合的人数

Let

x,y,z

be the sizes of the three sets

大提示：

每个并集的平均年龄都给出一个关于

x,y,z

的线性关系

Each union average gives a linear relation among

x,y,z

解答：

设三个集合的人数分别为

x,y,z

。由三个并集的平均年龄可得

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z) \end{aligned}\text{，}

以及

23y+41z=33(y+z)

。因此

y=\frac{4x}{3}

，且

z=\frac{5x}{3}

。总平均年龄为

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let the set sizes be

x,y,z.

The three union averages give

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z), \end{aligned}

and

23y+41z=33(y+z).

Thus

y=\frac{4x}{3}

and

z=\frac{5x}{3}.

The total average is

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34.

Thus the correct answer is E.

1988 AMC 12 第 25 题

答案：E

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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