Question

在非递减的奇整数数列 $\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}$ 中，每个正奇数 $k$ 出现 $k$ 次。已知存在整数 $b$ 、 $c$ 和 $d$ ，使得对所有正整数 $n$ ， $a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d\text{，}$ 其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。 $b+c+d$ 的值为

In the nondecreasing sequence of odd integers $\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}$ each positive odd integer $k$ appears $k$ times. It is a fact that there are integers $b,$ $c,$ and $d$ such that, for all positive integers $n,$ $a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer not exceeding $x.$ The sum $b+c+d$ equals

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：取整函数前n个奇数之和找规律

难度评级：2200

小提示：

前 $m$ 个正奇数之和为 $m^2$

The first $m$ positive odd integers have sum $m^2$

大提示：

用 $\sqrt{n-1}$ 的下取整表示满足 $m^2\ge n$ 的最小 $m$

Express the least $m$ with $m^2\ge n$ using a floor of $\sqrt{n-1}$

解答：

$2m-1$ 最后一次出现的位置是 $1+3+\cdots+(2m-1)=m^2\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $b=2$ 、 $c=-1$ 、 $d=1$ ，从而 $b+c+d=2$ 。

因此，正确答案是 C。

The final occurrence of $2m-1$ is in position $1+3+\cdots+(2m-1)=m^2.$ Therefore $\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1. \end{aligned}$ Thus $b=2,$ $c=-1,$ and $d=1,$ so $b+c+d=2.$

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 25 题

答案：C

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题