2024 AMC 12B Problema 24

Question

¿Cuál es el número de ternas ordenadas

(a, b, c)

de enteros positivos, con

a \le b \le c \le 9,

tales que existe un triángulo (no degenerado)

\triangle ABC

con inradio entero para el cual

a,

b,

y

c

son las longitudes de las alturas desde

A

hacia

\overline{BC},

desde

B

hacia

\overline{AC},

y desde

C

hacia

\overline{AB},

respectivamente? (Recuerda que el inradio de un triángulo es el radio del mayor círculo que puede inscribirse en el triángulo.)

What is the number of ordered triples

(a, b, c)

of positive integers, with

a \le b \le c \le 9,

such that there exists a (non-degenerate) triangle

\triangle ABC

with an integer inradius for which

a,

b,

and

c

are the lengths of the altitudes from

A

to

\overline{BC},

B

to

\overline{AC},

and

C

to

\overline{AB},

respectively? (Recall that the inradius of a triangle is the radius of the largest possible circle that can be inscribed in the triangle.)

2

3

4

5

6

Respuesta: B

Conceptos:altura circunferencia inscrita, incentro e inradio desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Como cada lado es igual a

\dfrac{2[\triangle]}{\text{altura}},

el inradio satisface

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

.

Since each side equals

\dfrac{2[\triangle]}{\text{altitude}},

the inradius satisfies

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

Pista grande:

Los lados son proporcionales a

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c,

así que la no degeneración requiere

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c;

busca ternas con

\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c

siendo una fracción unitaria.

The sides are proportional to

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c,

so non-degeneracy needs

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c;

seek triples with

\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c

a unit fraction

Solución:

Al escribir cada lado como

\dfrac{2[\triangle]}{h},

el semiperímetro es

[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),

así que el inradio

r = \dfrac{[\triangle]}{s}

satisface

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.

Necesitamos que sea

\dfrac1r

para un entero positivo

r,

y que los lados, proporcionales a

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c

, formen un triángulo no degenerado, lo cual exige

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.

Como

a\le b\le c\le9,

la suma de recíprocos es al menos

\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3},

así que

r

es uno de

1,2,3.

Además,

\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a},

de modo que

r\lt a\le3r.

Para cada uno de estos pocos valores de

r,a,

sustituimos

b=a,a+1,\ldots,9

en

c=\frac{abr}{ab-ar-br}.

Al conservar solo los valores enteros

c

con

b\le c\le9

, obtenemos la lista completa

\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}

Las ternas

(2,3,6),(2,4,4),

y

(4,8,8)

tienen

\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c

y por ello producen triángulos degenerados. Las ternas restantes son

(3,3,3),(6,6,6),

y

(9,9,9),

así que la respuesta es

3.

Así, la respuesta correcta es B.

Writing each side as

\dfrac{2[\triangle]}{h},

the semiperimeter is

[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),

so the inradius

r = \dfrac{[\triangle]}{s}

satisfies

\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.

We need this to be

\dfrac1r

for a positive integer

r,

with the sides (proportional to

\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c

) forming a non-degenerate triangle, requiring

\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.

Because

a\le b\le c\le9,

the reciprocal sum is at least

\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3},

so the integer

r

is one of

1,2,3.

Also

\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a},

so

r\lt a\le3r.

For each of these few values of

r,a,

substitute

b=a,a+1,\ldots,9

into

c=\frac{abr}{ab-ar-br}.

Keeping only integral

c

with

b\le c\le9

gives the complete list

\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}

The triples

(2,3,6),(2,4,4),

and

(4,8,8)

have

\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c

and therefore give degenerate triangles. The remaining triples are

(3,3,3),(6,6,6),

and

(9,9,9),

so the answer is

3.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años