Question

¿Cuál es el número de ternas ordenadas $(a, b, c)$ de enteros positivos, con $a \le b \le c \le 9,$ tales que existe un triángulo (no degenerado) $\triangle ABC$ con inradio entero para el cual $a,$ $b,$ y $c$ son las longitudes de las alturas desde $A$ hacia $\overline{BC},$ desde $B$ hacia $\overline{AC},$ y desde $C$ hacia $\overline{AB},$ respectivamente? (Recuerda que el inradio de un triángulo es el radio del mayor círculo que puede inscribirse en el triángulo.)

What is the number of ordered triples $(a, b, c)$ of positive integers, with $a \le b \le c \le 9,$ such that there exists a (non-degenerate) triangle $\triangle ABC$ with an integer inradius for which $a,$ $b,$ and $c$ are the lengths of the altitudes from $A$ to $\overline{BC},$ $B$ to $\overline{AC},$ and $C$ to $\overline{AB},$ respectively? (Recall that the inradius of a triangle is the radius of the largest possible circle that can be inscribed in the triangle.)

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:altura circunferencia inscrita, incentro e inradio desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

Al escribir cada lado como $\dfrac{2[\triangle]}{h},$ el semiperímetro es $[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),$ así que el inradio $r = \dfrac{[\triangle]}{s}$ satisface $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.$ Necesitamos que sea $\dfrac1r$ para un entero positivo $r,$ y que los lados, proporcionales a $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c$ , formen un triángulo no degenerado, lo cual exige $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.$

Como $a\le b\le c\le9,$ la suma de recíprocos es al menos $3/c\ge1/3,$ así que $r$ es uno de $1,2,3.$ Además, $1/a\lt1/r\le3/a,$ de modo que $r\lt a\le3r.$ Para cada uno de estos pocos valores de $r,a,$ sustituimos $b=a,a+1,\ldots,9$ en $c=\frac{abr}{ab-ar-br}.$ Al conservar solo los valores enteros $c$ con $b\le c\le9$ , obtenemos la lista completa $\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}$ Las ternas $(2,3,6),(2,4,4),$ y $(4,8,8)$ tienen $\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c$ y por ello producen triángulos degenerados. Las ternas restantes son $(3,3,3),(6,6,6),$ y $(9,9,9),$ así que la respuesta es $3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Writing each side as $\dfrac{2[\triangle]}{h},$ the semiperimeter is $[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),$ so the inradius $r = \dfrac{[\triangle]}{s}$ satisfies $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.$ We need this to be $\dfrac1r$ for a positive integer $r,$ with the sides (proportional to $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c$ ) forming a non-degenerate triangle, requiring $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.$

Because $a\le b\le c\le9,$ the reciprocal sum is at least $3/c\ge1/3,$ so the integer $r$ is one of $1,2,3.$ Also $1/a\lt1/r\le3/a,$ so $r\lt a\le3r.$ For each of these few values of $r,a,$ substitute $b=a,a+1,\ldots,9$ into $c=\frac{abr}{ab-ar-br}.$ Keeping only integral $c$ with $b\le c\le9$ gives the complete list $\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}$ The triples $(2,3,6),(2,4,4),$ and $(4,8,8)$ have $\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c$ and therefore give degenerate triangles. The remaining triples are $(3,3,3),(6,6,6),$ and $(9,9,9),$ so the answer is $3.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

El Problema 24 en otros años