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2024 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Sea △ABC\triangle ABC un triángulo con longitudes de lado enteras y con la propiedad de que ∠B=2∠A.\angle B = 2\angle A. ¿Cuál es el menor perímetro posible de tal triángulo?

Let △ABC\triangle ABC be a triangle with integer side lengths and the property that ∠B=2∠A.\angle B = 2\angle A. What is the least possible perimeter of such a triangle?

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Respuesta: C
Conceptos:ley de los senosEcuación diofánticadesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 2230
Solución:

Cuando ∠B=2∠A,\angle B = 2\angle A, las longitudes de los lados satisfacen b2=a(a+c),b^2 = a(a + c), donde a=BC,a = BC, b=CA,b = CA, c=AB.c = AB. Por tanto, c=b2−a2ac = \dfrac{b^2 - a^2}{a} debe ser un entero positivo y los lados deben formar un triángulo válido.

Además, b>a,b\gt a, porque ∠B=2∠A>∠A.\angle B=2\angle A\gt\angle A. El perímetro es a+b+c=b+b2a>2b.a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b. Por ello, un perímetro menor que 1515 exigiría b≤6.b\le6. Para b=2,3,4,5,6,b=2,3,4,5,6, los divisores a<ba\lt b de b2b^2 producen los pares posibles (b,a)=(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered} Al sustituir, se obtiene un triángulo degenerado o inválido en todos los casos salvo (a,b)=(4,6),(a,b)=(4,6), que da c=5.c=5. Por tanto, (4,5,6)(4,5,6) es el primer triángulo válido y su perímetro es 15.15.

Así, la respuesta correcta es C.

When ∠B=2∠A,\angle B = 2\angle A, the side lengths satisfy b2=a(a+c),b^2 = a(a + c), where a=BC,a = BC, b=CA,b = CA, c=AB.c = AB. So c=b2−a2ac = \dfrac{b^2 - a^2}{a} must be a positive integer, and the sides must form a valid triangle.

Also b>a,b\gt a, because ∠B=2∠A>∠A.\angle B=2\angle A\gt\angle A. The perimeter is a+b+c=b+b2a>2b.a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b. Therefore a perimeter below 1515 would require b≤6.b\le6. For b=2,3,4,5,6,b=2,3,4,5,6, the divisors a<ba\lt b of b2b^2 give the possible pairs (b,a)=(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered} Substitution gives a degenerate or invalid triangle in every case except (a,b)=(4,6),(a,b)=(4,6), which gives c=5.c=5. Thus (4,5,6)(4,5,6) is the first valid triangle, and its perimeter is 15.15.

Thus, the correct answer is C.

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