2024 AMC 12B Problema 22

Con $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB,$ la condición $\angle B = 2\angle A$ equivale a $b^2 = a(a + c)$.

Como el perímetro es $b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b,$ un perímetro menor que $15$ exige $b\le6$; revisa los divisores $a\lt b$ de $b^2$

Cuando $\angle B = 2\angle A,$ las longitudes de los lados satisfacen $b^2 = a(a + c),$ donde $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Por tanto, $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ debe ser un entero positivo y los lados deben formar un triángulo válido.

Además, $b\gt a,$ porque $\angle B=2\angle A\gt\angle A.$ El perímetro es $a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b.$ Por ello, un perímetro menor que $15$ exigiría $b\le6.$ Para $b=2,3,4,5,6,$ los divisores $a\lt b$ de $b^2$ producen los pares posibles $$\begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered}$$ Al sustituir, se obtiene un triángulo degenerado o inválido en todos los casos salvo $(a,b)=(4,6),$ que da $c=5.$ Por tanto, $(4,5,6)$ es el primer triángulo válido y su perímetro es $15.$

Así, la respuesta correcta es C.