2023 AMC 12B Problema 9

Question

¿Cuál es el área de la región en el plano de coordenadas definida por

||x|-1|+||y|-1|\le 1?

What is the area of the region in the coordinate plane defined by

||x|-1|+||y|-1|\le 1?

2

8

4

15

12

La región es simétrica respecto a ambos ejes, así que trabaja con

|x|

y

|y|

The region is symmetric across both axes, so work with

|x|

and

|y|

En el primer cuadrante

|x-1|+|y-1|\le 1

es un rombo de área

2;

hay

4

copias

In the first quadrant

|x-1|+|y-1|\le 1

is a diamond of area

2;

there are

4

copies

Reemplazando

x,y

por

|x|,|y|,

la condición

|x-1|+|y-1|\le 1

describe un rombo centrado en

(1,1)

con diagonales de longitud

2,

por lo que su área es

2.

Está por completo en el primer cuadrante (tocando los ejes solo en puntos aislados), así que al reflejarlo respecto a los dos ejes se producen

4

copias disjuntas. El área total es

4\times 2=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing

x,y

by

|x|,|y|,

the condition

|x-1|+|y-1|\le 1

describes a diamond centered at

(1,1)

with diagonals of length

2,

hence area

2.

It lies entirely in the first quadrant (touching the axes only at single points), so reflecting across the two axes produces

4

disjoint copies. The total area is

4\times 2=8.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 9 en otros años