2021 AMC 12B Spring Problema 17

Question

Sea

ABCD

un trapecio isósceles con bases paralelas

\overline{AB}

y

\overline{CD}

con

AB\gt CD.

Los segmentos que van desde un punto interior de

ABCD

a los vértices dividen el trapecio en cuatro triángulos cuyas áreas son

2,

3,

4,

y

5

empezando por el triángulo con base

\overline{CD}

y avanzando en sentido horario como se muestra en el diagrama de abajo. ¿Cuál es la razón

\dfrac{AB}{CD}

?

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid having parallel bases

\overline{AB}

and

\overline{CD}

with

AB\gt CD.

Line segments from a point inside

ABCD

to the vertices divide the trapezoid into four triangles whose areas are

2,

3,

4,

and

5

starting with the triangle with base

\overline{CD}

and moving clockwise as shown in the diagram below. What is the ratio

\dfrac{AB}{CD}?

3

2+\sqrt2

1+\sqrt6

2\sqrt3

3\sqrt2

Respuesta: B

Conceptos:trapecio razón de áreas cuadrática

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Los triángulos sobre las bases tienen áreas

4

(base

AB

) y

2

(base

CD

); escríbelos como

\tfrac12 a h_a

y

\tfrac12 b h_b

The triangles on the bases have areas

4

(base

AB

) and

2

(base

CD

); write them as

\tfrac12 a h_a

and

\tfrac12 b h_b

Pista grande:

Con

a h_a=8,

b h_b=4,

y

(a+b)(h_a+h_b)=28,

los términos cruzados

a h_b

y

b h_a

satisfacen una cuadrática

With

a h_a=8,

b h_b=4,

and

(a+b)(h_a+h_b)=28,

the cross terms

a h_b

and

b h_a

satisfy a quadratic

Solución:

Sea

AB=a,

CD=b,

y sea el punto interior a alturas

h_a

de

AB

y

h_b

de

CD.

Los triángulos de las bases dan

\tfrac12 a h_a=4

y

\tfrac12 b h_b=2,

así que

a h_a=8

y

b h_b=4.

El área total es

2+3+4+5=14

=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),

así que

(a+b)(h_a+h_b)=28.

Desarrollando,

a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,

lo que da

a h_b+b h_a=16.

Sea

u=a h_b

y

v=b h_a.

Entonces

u+v=16

y

uv=(a h_a)(b h_b)=32,

así que

u,v=8\pm 4\sqrt2.

Finalmente

\dfrac{AB}{CD}

=\dfrac{a}{b}

=\dfrac{a h_b}{b h_b}

=\dfrac{u}{4}

=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}

=2+\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

AB=a,

CD=b,

and let the interior point be at heights

h_a

from

AB

and

h_b

from

CD.

The base triangles give

\tfrac12 a h_a=4

and

\tfrac12 b h_b=2,

so

a h_a=8

and

b h_b=4.

The total area is

2+3+4+5=14

=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),

so

(a+b)(h_a+h_b)=28.

Expanding,

a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,

giving

a h_b+b h_a=16.

Let

u=a h_b

and

v=b h_a.

Then

u+v=16

and

uv=(a h_a)(b h_b)=32,

so

u,v=8\pm 4\sqrt2.

Finally

\dfrac{AB}{CD}

=\dfrac{a}{b}

=\dfrac{a h_b}{b h_b}

=\dfrac{u}{4}

=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}

=2+\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años