2019 AMC 12B Problema 17

Question

¿Cuántos números complejos no nulos

z

tienen la propiedad de que

0,

z,

y

z^3,

al representarse como puntos en el plano complejo, sean los tres vértices distintos de un triángulo equilátero?

How many nonzero complex numbers

z

have the property that

0,

z,

and

z^3,

when represented by points in the complex plane, are the three distinct vertices of an equilateral triangle?

0

1

2

4

infinitos

infinitely many

Respuesta: D

Conceptos:número complejo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Equilátero significa

|z|=|z^3|=|z^3-z|

Equilateral means

|z|=|z^3|=|z^3-z|

Pista grande:

|z|=|z^3|

obliga a

|z|=1;

luego exige

|z^2-1|=1

|z|=|z^3|

forces

|z|=1;

then require

|z^2-1|=1

Solución:

Los tres puntos forman un triángulo equilátero si y solo si

|z|=|z^3|=|z^3-z|.

De

|z|=|z^3|=|z|^3

obtenemos

|z|=1.

Entonces

|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,

así que necesitamos

|z^2-1|=1.

Escribiendo

z=e^{i\theta},

|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,

así que

|\sin\theta|=\dfrac12.

Esto da

\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,

cuatro valores de

z,

todos generando vértices distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three points form an equilateral triangle iff

|z|=|z^3|=|z^3-z|.

From

|z|=|z^3|=|z|^3

we get

|z|=1.

Then

|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,

so we need

|z^2-1|=1.

Writing

z=e^{i\theta},

|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,

so

|\sin\theta|=\dfrac12.

This gives

\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,

four values of

z,

all yielding distinct vertices.

Thus, D is the correct answer.