2018 AMC 12A Problema 17

Question

Farmer Pythagoras tiene un campo en forma de triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo tienen longitudes de

3

y

4

unidades. En la esquina donde esos lados se encuentran en ángulo recto, deja un pequeño cuadrado sin cultivar

S

de modo que desde el aire parece el símbolo de ángulo recto. El resto del campo está cultivado. La distancia más corta de

S

a la hipotenusa es

2

unidades. ¿Qué fracción del campo está cultivada?

Farmer Pythagoras has a field in the shape of a right triangle. The right triangle’s legs have lengths of

3

and

4

units. In the corner where those sides meet at a right angle, he leaves a small unplanted square

S

so that from the air it looks like the right angle symbol. The rest of the field is planted. The shortest distance from

S

to the hypotenuse is

2

units. What fraction of the field is planted?

\tfrac{25}{27}

\tfrac{26}{27}

\tfrac{73}{75}

\tfrac{145}{147}

\tfrac{74}{75}

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia área

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Coloca el ángulo recto en el origen de modo que la hipotenusa sea la recta

3x + 4y = 12

Put the right angle at the origin so the hypotenuse is the line

3x + 4y = 12

Pista grande:

La esquina lejana

(s, s)

del cuadrado está a distancia

2

de esa recta; resuelve

\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2

y conserva la raíz válida

The far corner

(s, s)

of the square is distance

2

from that line; solve

\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2

and keep the valid root

Solución:

Coloca el ángulo recto en el origen con los catetos sobre los ejes, así que los vértices son

(4, 0),

(0, 3),

(0, 0),

y el cuadrado

S

es

[0, s] \times [0, s].

La hipotenusa es

3x + 4y - 12 = 0,

y la distancia desde su esquina más cercana

(s, s)

es

\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.

Esto da

s = \tfrac{22}{7}

o

s = \tfrac27;

solo

s = \tfrac27

mantiene el cuadrado dentro del triángulo.

El campo tiene área

\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6

y el cuadrado sin cultivar tiene área

\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.

La fracción cultivada es

1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the right angle at the origin with legs on the axes, so the vertices are

(4, 0),

(0, 3),

(0, 0),

and the square

S

is

[0, s] \times [0, s].

The hypotenuse is

3x + 4y - 12 = 0,

and the distance from its nearest corner

(s, s)

is

\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.

This gives

s = \tfrac{22}{7}

or

s = \tfrac27;

only

s = \tfrac27

keeps the square inside the triangle.

The field has area

\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6

and the unplanted square has area

\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.

The planted fraction is

1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.

Thus, the correct answer is D.