2017 AMC 12A Problema 24

Question

El cuadrilátero

ABCD

está inscrito en la circunferencia

O

y tiene lados

AB=3,

BC=2,

CD=6,

y

DA=8.

Sean

X

y

Y

puntos sobre

BD

tales que

\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}

y

\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}.

Sea

E

la intersección de la recta

AX

y la recta que pasa por

Y

paralela a

AD.

Sea

F

la intersección de la recta

CX

y la recta que pasa por

E

paralela a

AC.

Sea

G

el punto de la circunferencia

O

distinto de

C

que está sobre la recta

CX.

¿Cuánto vale

XF\cdot XG

?

Quadrilateral

ABCD

is inscribed in circle

O

and has sides

AB=3,

BC=2,

CD=6,

and

DA=8.

Let

X

and

Y

be points on

BD

such that

\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}

and

\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}.

Let

E

be the intersection of line

AX

and the line through

Y

parallel to

AD.

Let

F

be the intersection of line

CX

and the line through

E

parallel to

AC.

Let

G

be the point on circle

O

other than

C

that lies on line

CX.

What is

XF\cdot XG?

17

\dfrac{59-5\sqrt2}{3}

\dfrac{91-12\sqrt3}{4}

\dfrac{67-10\sqrt2}{3}

18

Respuesta: A

Conceptos:semejanza potencia de un punto ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Los paralelismos dan

\triangle XEY\sim\triangle XAD

y

\triangle XEF\sim\triangle XAC

The parallels give

\triangle XEY\sim\triangle XAD

and

\triangle XEF\sim\triangle XAC

Pista grande:

Combina esas razones con la potencia de un punto para obtener

XF\cdot XG=XB\cdot XY;

halla

BD^2

mediante la ley de cosenos

Combine those ratios with Power of a Point to get

XF\cdot XG=XB\cdot XY;

find

BD^2

via Law of Cosines

Solución:

Como

YE\parallel AD

y

EF\parallel AC,

obtenemos

\triangle XEY\sim\triangle XAD

y

\triangle XEF\sim\triangle XAC,

lo que da

\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}

y

\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}.

Por lo tanto

\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY},

así que

XF\cdot XD=XC\cdot XY.

La potencia del punto

X

da

XC\cdot XG=XD\cdot XB,

y al combinar se obtiene

XF\cdot XG=XB\cdot XY.

Con

d=BD,

DX=\dfrac14 d

y

BY=\dfrac{11}{36}d,

así que

\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}

Como

ABCD

es cíclico,

\angle BAD

y

\angle BCD

son suplementarios. La ley de cosenos en

\triangle ABD

y

\triangle CBD

da

\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24},

así que

d^2=51.

Por lo tanto

XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because

YE\parallel AD

and

EF\parallel AC,

we get

\triangle XEY\sim\triangle XAD

and

\triangle XEF\sim\triangle XAC,

giving

\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}

and

\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}.

Hence

\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY},

so

XF\cdot XD=XC\cdot XY.

Power of a Point at

X

gives

XC\cdot XG=XD\cdot XB,

and combining yields

XF\cdot XG=XB\cdot XY.

With

d=BD,

DX=\dfrac14 d

and

BY=\dfrac{11}{36}d,

so

\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}

Since

ABCD

is cyclic,

\angle BAD

and

\angle BCD

are supplementary. The Law of Cosines on

\triangle ABD

and

\triangle CBD

gives

\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24},

so

d^2=51.

Therefore

XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.

Thus, the correct answer is A.

2017 AMC 12A Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años