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2016 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Para cierto entero positivo nn menor que 1000,1000, el equivalente decimal de 1n\dfrac1n es 0.abcdef‾,0.\overline{abcdef}, un decimal periódico de período 6,6, y el equivalente decimal de 1n+6\dfrac{1}{n+6} es 0.wxyz‾,0.\overline{wxyz}, un decimal periódico de período 4.4. ¿En qué intervalo se encuentra nn?
For a certain positive integer nn less than 1000,1000, the decimal equivalent of 1n\dfrac1n is 0.abcdef‾,0.\overline{abcdef}, a repeating decimal of period 6,6, and the decimal equivalent of 1n+6\dfrac{1}{n+6} is 0.wxyz‾,0.\overline{wxyz}, a repeating decimal of period 4.4. In which interval does nn lie?
[1,200][1,200]
[201,400][201,400]
[401,600][401,600]
[601,800][601,800]
[801,999][801,999]
Respuesta: B
Conceptos:decimal periódicoorden multiplicativodivisibilidad
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Período 66 significa que 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 es divisible por n;n; período 44 significa que 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 es divisible por n+6n+6.
Period 66 means 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 is divisible by n;n; period 44 means 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 is divisible by n+6n+6
Pista grande:
n+6n+6 debe dividir a 104−110^4-1 pero no a 102−1,10^2-1, lo que obliga a n+6=101k;n+6=101k; prueba cada n=101k−6<1000n=101k-6\lt1000 para ver si 106−110^6-1 es divisible por nn.
n+6n+6 must divide 104−110^4-1 but not 102−1,10^2-1, forcing n+6=101k;n+6=101k; test each n=101k−6<1000n=101k-6\lt1000 to see whether 106−110^6-1 is divisible by nn
Solución:
El período 66 exige que 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 sea divisible por n.n. El período 44 exige que 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 sea divisible por n+6,n+6, mientras que 102−1=32⋅1110^2-1=3^2\cdot11 no es divisible por n+6n+6 (pues de otro modo el período sería 11 o 22). Por tanto, n+6n+6 es múltiplo de 101.101. Como n+6n+6 también divide a 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 y es menor que 1006,1006, las únicas posibilidades son n+6=101,303,909,n+6=101,303,909, que dan n=95,297,903.n=95,297,903. Solo 297=33⋅11297=3^3\cdot11 divide a 106−1,10^6-1, así que n=297.n=297.
Finalmente, 106≡1(mod297),10^6\equiv1\pmod{297}, mientras que 102≢110^2\not\equiv1 y 103≢1(mod297),10^3\not\equiv1\pmod{297}, de modo que su período es exactamente 6.6. Además, 303303 divide a 104−110^4-1 pero no a 102−1,10^2-1, por lo que el período de 1303\frac{1}{303} es exactamente 4.4. Así, n=297n=297 pertenece a [201,400].[201,400].
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Period 66 requires 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 to be divisible by n.n. Period 44 requires 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 to be divisible by n+6,n+6, while 102−1=32⋅1110^2-1=3^2\cdot11 is not divisible by n+6n+6 (else the period would be 11 or 22). Hence n+6n+6 is a multiple of 101.101. Since n+6n+6 also divides 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 and is less than 1006,1006, the only possibilities are n+6=101,303,909,n+6=101,303,909, giving n=95,297,903.n=95,297,903. Only 297=33⋅11297=3^3\cdot11 divides 106−1,10^6-1, so n=297.n=297.
Finally, 106≡1(mod297),10^6\equiv1\pmod{297}, while 102≢110^2\not\equiv1 and 103≢1(mod297),10^3\not\equiv1\pmod{297}, so its period is exactly 6.6. Also 303303 divides 104−110^4-1 but not 102−1,10^2-1, so the period of 1303\frac{1}{303} is exactly 4.4. Thus n=297n=297 lies in [201,400].[201,400].
Thus, the correct answer is B.

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