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2016 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Para cierto entero positivo nn menor que 1000,1000, el equivalente decimal de 1n\dfrac1n es 0.abcdef‾,0.\overline{abcdef}, un decimal periódico de período 6,6, y el equivalente decimal de 1n+6\dfrac{1}{n+6} es 0.wxyz‾,0.\overline{wxyz}, un decimal periódico de período 4.4. ¿En qué intervalo se encuentra nn?

For a certain positive integer nn less than 1000,1000, the decimal equivalent of 1n\dfrac1n is 0.abcdef‾,0.\overline{abcdef}, a repeating decimal of period 6,6, and the decimal equivalent of 1n+6\dfrac{1}{n+6} is 0.wxyz‾,0.\overline{wxyz}, a repeating decimal of period 4.4. In which interval does nn lie?

[1,200][1,200]

[201,400][201,400]

[401,600][401,600]

[601,800][601,800]

[801,999][801,999]

Respuesta: B
Conceptos:decimal periódicoorden multiplicativodivisibilidad
Nivel de dificultad: 2270
Solución:

El período 66 exige n∣106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅37.n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37. El período 44 exige n+6∣104−1=32⋅11⋅101n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101, pero n+6∤102−1=32⋅11n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11 (pues de otro modo el período sería 11 o 22). Por tanto, 101∣n+6.101\mid n+6. Como n+6n+6 también divide a 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 y es menor que 1006,1006, las únicas posibilidades son n+6=101,303,909,n+6=101,303,909, que dan n=95,297,903.n=95,297,903. Solo 297=33⋅11297=3^3\cdot11 divide a 106−1,10^6-1, así que n=297.n=297.

Finalmente, 106≡1(mod297),10^6\equiv1\pmod{297}, mientras que 102≢110^2\not\equiv1 y 103≢1(mod297),10^3\not\equiv1\pmod{297}, de modo que su período es exactamente 6.6. Además, 303303 divide a 104−110^4-1 pero no a 102−1,10^2-1, por lo que el período de 1/3031/303 es exactamente 4.4. Así, n=297n=297 pertenece a [201,400].[201,400].

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Period 66 requires n∣106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅37.n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37. Period 44 requires n+6∣104−1=32⋅11⋅101n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101 but n+6∤102−1=32⋅11n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11 (else the period would be 11 or 22). Hence 101∣n+6.101\mid n+6. Since n+6n+6 also divides 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 and is less than 1006,1006, the only possibilities are n+6=101,303,909,n+6=101,303,909, giving n=95,297,903.n=95,297,903. Only 297=33⋅11297=3^3\cdot11 divides 106−1,10^6-1, so n=297.n=297.

Finally, 106≡1(mod297),10^6\equiv1\pmod{297}, while 102≢110^2\not\equiv1 and 103≢1(mod297),10^3\not\equiv1\pmod{297}, so its period is exactly 6.6. Also 303303 divides 104−110^4-1 but not 102−1,10^2-1, so the period of 1/3031/303 is exactly 4.4. Thus n=297n=297 lies in [201,400].[201,400].

Thus, the correct answer is B.

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El Problema 22 en otros años

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